Ueber DASY

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DASY oder "Daten Analyse System"ist ein kleines Statistikpaket, das

seit 1993 im Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik der

FH-Furtwangen im Praktikum eingesetzt wird.

Programmierer: Stefan von Weber.

DASY hat folgende Highlights:

- KFA Konfigurations-Frequenzanalyse mit Alpha- und Beta-Schaetzung,

globaler Chi-Quadrat-Test, 6 lokale Typentests

- Multivariate kategoriale Merkmalsselektion ueber Chi-Quadrat

- Chi-Quadrat-Zerlegung nach LANCASTER

- 4-Felder-Tafel-Analyse (2x2-Tafeln) mit Alpha- und Beta-Schaetzung,

Typensuche im Zero-Order-Modell nach A.v.Eye

6 Assoziationsmasse mit Signifikanzpruefung und Betaschaetzung

Vergleich von relativen Haeufigkeitszahlen mit Binomialtest

- Kreuz- und Autokorrelationsfunktionen

- CWA-Regression mit optimaler Vorhersagegenauigkeit bei vielen

Einflussgroessen und wenig Datenpunkten

- Diskriminanz- und Clusteranalyse zur Klassifikation von Objekten

(Clusteranalyse noch in Arbeit)

- Datentransformationen verschiedenster Art

Neben den Highlights bietet DASY noch:

- Eingabe unformatierter und formatierter Daten, Kontingenztafeleingabe,

Eingabe von micromec-Datenlogger- und PREMA-Messcomputer-Daten

- Einfache lineare und einige einfache nichtlineare Regressionsmodelle

(linear, quadratisch, exponentiell, hyperbolisch)

- Schrittweise Regression

- Einfache Varianzanalyse mit 3 unterschiedlichen Mittelwertvergleichen

- Plots, als BitMaps exportierbar

- DASY kann mit der Tastatur allein oder mit Maus und Tastatur

gesteuert werden

DASY ist FREEWARE. DASY lauft seit vielen Jahren. Trotzdem uebernehmen

wir keine Haftung fuer die absolute Richtigkeit der Ergebnisse.

Wie bekommen Sie DASY?

Sie senden eine kurze Mail an webers@fh-furtwangen.de

Ich sende Ihnen umgehend die 4 Files README.TXT, DASY1.jpg,

DASY2.jpg und SETUP.jpg.

Sie benennen DASY1.jpg um in DASY1.ALL,

Sie benennen DASY2.jpg um in DASY2.ALL,

Sie benennen SETUP.jpg um in SETUP.EXE

und verfahren dann, wie unter Installation beschrieben wird.

Fragen und Hinweise e-mail: webers@fh-furtwangen.de

Installation von DASY:

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Richten Sie fuer DASY ein Directory ein (einen Folder, Ordner), z.B.

C:\PROGRAMS\DASY

Speichern Sie README.TXT, DASY1.ALL, DASY2.ALL und SETUP.EXE in das

empfohlen

Bei der Prognose (Vorhersage) interessiert die Genauigkeit der prognos-

tizierten Y-Werte. Nicht die kleinste Reststreuung ist gefragt, sondern

der kleinste Prognosefehler. Zur Bestimmung benutzt man Jackknife- oder

Bootstrap-Methoden (in DASY nur Jackknife) bzw. eine Teilung der vor-

handenen Daten in einen Lern- und einen Arbeitsteil. Die Frage nach der

Signifikanz der Einflussgroessen stellt sich nicht bzw. ist unterge-

ordnet.

Die exakte Reproduktion (Datenverdichtung) erfordert ein besonders gutes

Regressionsmodell, das die Reststreuung bei moeglichst wenigen Einfluss-

groessen minimiert. Bei ungeschickter Wahl des Modells ist es moeglich,

dass Sie bei X-Werten ausserhalb der benutzten Stuetzstellen Phantasie-

werte erhalten, die weit jenseits von gut und boese liegen. Ein Prog-

nosefehler oder die Signifikanz der Einflussgroessen ist von unterge-

ordneter Bedeutung.

Das Auffinden signifikanter Einflussgroessen ist oft von wissenschaft-

lichem oder praktischem Wert. Das Ergebnis kann kausale Zusammenhaenge

erkennbar machen, oder aber den Erhebungsaufwand fuer Prognosedaten

erheblich reduzieren helfen. Probleme beim Auffinden der signifikanten

Einflussgroessen sind:

Aus einer Gruppe untereinander hoch korrelierter Einflussgroessen wird

zumeist nur ein Merkmal mehr oder weniger zufaellig ausgewaehlt. Es ist

durchaus moeglich, dass eine ganze Reihe von Merkmalen denselben sig-

nifikanten Einfluss haben, wie das zufaellig gewaehlte Merkmal. Das

kann dann ein Hinweis daruf sein, dass ein versteckter Faktor alle

diese Merkmale steuert. Seltener tritt der Faktor selbst als Merkmal

auf. Es waere in diesem Falle sinnvoll, eine Faktoranalyse vorzuschal-

ten (in DASY nicht moeglich) und mit den Faktoren als Einflussgroessen

zu arbeiten

Liegen sehr viele Einflussgroessen vor, dann muss eine Alpha-Adjus-

tierung, z.B. nach Holms Prozedur oder nach Bonferroni vorgenommen wer-

den (DASY bietet hier nur Bonferroni an), da sonst Zufallsmerkmale

eine Chance bekommen, als signifikant gemeldet zu werden (bei Alpha=5%

wuerden von 100 Zufallsmerkmalen immerhin 5 akzeptiert werden, wenn

keine Alpha-Adjustierung vorgenommen wird.)

"CWA-Regression" ist ein faktorisierendes Verfahren, das die Regressions-

koeffizienten iterativ nach einem speziellen Abstiegsverfahren zur Mini-

mierung der Reststreuung berechnet (Cierzynski/v.Weber). Die Vorteile

sind:

- Hochkorrelierte Merkmale schliessen sich nicht gegenseitig aus, sondern

werden zu einer Art Faktor gemittelt (man spart die Faktorregression)

- Die Iteration wird abgebrochen, wenn der Prognosefehler wieder ansteigt

- Es entsteht eine "robuste Loesung", die auch bei moderaten Veraende-

rungen in der Datenbasis (X-Werte) noch Bestand hat

"Schrittweises Aufbauverfahren" bzw. "Schrittweises Abbauverfahren" ist

ein Verfahren, bei dem ein Signifikanztest (t-Test) ueber die Aufnahme

oder den Verbleib einer Einflussgroesse im Modell entscheidet. Die

Vorteile sind:

- Nur Einflussgroessen mit einem statistisch gesicherten Einfluss auf die

Reduktion der Reststreuung werden in das Modell aufgenommen

( Ausnahme: Ist kein Merkmal signifikant, wird das mit dem hoechsten

t-Wert genommen )

- Eine Gruppe hoch korrelierter Merkmale wird durch ein Merkmal vertreten

- Es entsteht eine robuste Loesung, die auch bei moderaten Veraenderungen

in der Datenbasis noch Bestand hat

"Regression mit allen Einflussgroessen" ist ein Verfahren, bei dem nur

Merkmale aus dem Modell entfernt werden, wenn eine so starke lineare

Abhengigkeit der Mermale diagnostiziert wird, dass numerische Instabili-

taeten auftreten. Der Vorteil ist:

- Fuer die Stuetzstellen (und nur fuer diese) laesst sich die Rest-

streuung maximal minimieren. Es haengt sehr vom Modell ab, ob die

Zielgroessenschaetzung auch fuer Werte ausserhalb der Stutzstellen

noch vernuenftige Zahlen liefert. Am besten testet man dieses aus,

indem man selbst einmal die X-Werte leicht variiert und in das be-

rechnete Modell einsetzt.

Datenaufbau fuer eine multiple Regressionsanalyse

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- Sie benoetigen eine Z i e l variable (abhaengige Variable)

und eine oder mehrere E i n f l u s s variablen (unabhaengige

Variablen).

- Falls Sie genuegend Daten haben, koennen Sie diese in eine Lern- und

eine Arbeitsstichprobe teilen. Die Schaetzung des Vorhersagefehlers

wird so sicherer. Dafuer benoetigen Sie jedoch eine zusaetzliche

G r u p p i e r u n g s variable, die einen Wert >0 und <256, z.B. 1

fuer alle Datenpunkte der Lernstichprobe aufweist, und den Wert =0

fuer die Arbeitsstichprobe, an der die Regression getestet wird.

"Trennung der Daten in Lern- und Arbeitsstichprobe" und "Berechnung

der Zielgroesse fuer extra Datenpunkte" schliessen sich aus.

- Falls sie die Zielgroessenwerte fuer "extra Datenpunkte" vorhersagen

wollen, an denen die Zielgroesse nicht bekannt ist, dann benoetigen Sie

ebenfalls die G r u p p i e r u n g s v a r i a b l e . Sie muss fuer

die "extra Datenpunkte" den Wert 0 aufweisen. Der Wert der Zielgroesse

fuer die "extra Datenpunkte" ist beliebig (z.B. Null), darf aber kein

Ausfall sein. Bei den Lerndaten muss der Wert der Gruppierungsvariablen

zwischen 1 und 255 liegen.

- Bei gewichteter Regression benoetigen Sie eine G e w i c h t s -

variable. Gewichte sind Zahlen Gi>=0.001 und Gi<1000. Fuer extra

Datensaetze bzw. fuer Arbeitsdatensaetze darf Gi=0 sein.

Der Ablauf einer Regressionsanalyse:

- Uebernahme der ausgewaehlten "originalen" X- und der Y-Variablen

und eventuell einer Gruppierungsvariablen

- Wenn verlangt, dann Ausfuehrung einer programmierten lokalen Merkmals-

transformation in "sekundaere" Variablen

- Wenn verlangt, dann Anwendung eines "Polynomialen Standardmodells"

- Ausblenden aller Datenpunkte y, x1, x2,..., xp mit Ausfaellen

- Bei Vorhersage zufaellige Gruppenbildung der Datenpunkte

- Berechnen der Kovarianzmatrix und daraus Berechnung der Koeffizienten

- Bestimmung der Reststreung, bei vorhandener Arbeitsstichprobe auch

die Bestimmung der Reststreuung der Arbeitsstichprobe

- Bei Vorhersage Berechnung des Prognosefehlers

- Ausgabe der Ergebnisse (Koeffizienten, statistische Kennzahlen)

- Ausgabe der Erwartungswerte der Zielgroesse als neue Variable

Die lokale Merkmalstransformation ist Optional und erfordert ein Trans-

formationsprogramm *.trr, das im Programmteil "Transformationen" erstellt

und auf formale Richtigkeit getestet wird. Fehler, die erst zur Laufzeit

des Programms auftreten, koennen nur hier in der Regressionsanalyse er-

kannt werden. Die berechneten Merkmale sind lokal, d.h. sie werden nach

Ausfuehrung der Regressionsanalyse sofort wieder "vergessen". Sie koennen

die X-Variablen und/oder die Y-Variable transformieren und die Anzahl der

X-Variablen verringern, belassen oder erhoehen.

Polynomiale Standardmodelle sind:

- Einfach Polynomial: Zu jedem im Modell vorhandenen X-Mermal wird bei

Polynomgrad PG=2 ein X*X-Merkmal zusaetzlich erzeugt, bei

Polynomgrad PG=3 ein Merkmalspaar X*X und X*X*X zusaetzlich erzeugt

usw.

- Vollstaendig Polynomial: Wie einfach Polynomial, aber zusaetzlich

noch alle Produkte der vorhanden X-Merkmale, z.B. bei

PG=2 und X1,X2 entstehen zusaetzlich X1*X1, X2*X2, X1*X2, bei

PG=3 und X1,X2 entstehen zusaetzlich X1*X1, X1*X1*X1, X2*X2, X2*X2*X2,

X1*X2, X1*X1*X2, X1*X2*X2

Das einfach polynomiale Standardmodell ist auf PG=2,3,4,5 beschraenkt

Das vollstaendige Polynomiale Modell ist auf PG=2,3 beschraenkt.

Uebersteigt die erzeugte gesamte Merkmalszahl die Beschraenkungen von

DASY (maximal 95 X-Merkmale), dann wird das Modell abgelehnt.

Immer das zuletzt angegebene Polynomiale Modell gilt. Haben Sie ver-

sehentlich ein polynomiales Modell gewaehlt, koennen sie es durch die

Eingabe einer 0 als Polynomgrad wieder entfernen.

Alle Zahlen, deren Betrag groesser als 10^12 ist, werden als Ausfaelle

betrachtet. Das gilt sowohl fuer die originalen Ausfaelle (intern -1E25)

als auch fuer Daten, die erst durch die Transformation oder durch das

polynomiale Standardmodell erzeugt wurden.

Die Schaetzung des Vorhersagefehlers erfordert eine mehrfache Berechnung

der Regressionskoeffizienten. Die Datenpunkte werden zufaellig in moeg-

lichst gleich grosse Gruppen unterteilt. Es wird 10-mal die Regression

berechnet, wobei immer eine der Gruppen nicht zur Berechnung der Koeffi-

zienten benutzt wird, aber zur Fehlerschaetzung der Prognose

(Jack-knife-Methode). Bei der CWA-Regression ist diese Methode inbe-

griffen, da die optimale Iterationszahl ueber den minimalen Vorhersage-

fehler bestimmt wird.

Eine erfolgreiche Regressionsanalyse liefert neben den Regressionskoeffi-

zienten und statistischen Kennzahlen ein neues metrisches Merkmal.

Hat die Zielgroesse Y die Merkmalsbezeichnung "abc", dann heisst das neue

Merkmal "mr1ABC", wenn Y mit dem CWA-Algorithmus (Alg. 1) berechnet wurde.

Entsprechend Aufbau=2, Abbau=3, Alle=3 heisst das neue Mermal mr2ABC,

mr3ABC bzw. mr4ABC.

Das neue Merkmal mr#ABC enthaelt die Erwartungswerte fuer Y an den

Stellen, die durch die Einflussgroessen X1,X2,...,Xp vorgegeben

werden. Faellt einer der x-Werte oder der Zielgroessenwert aus, dann

enthaelt das neue Merkmal fuer diesen Datenpunkt den Ausfallwert

(intern -1e25).

Druckbilderklaerung der Regression

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ùRegress-Dr: In der Ausgabe der multiplen Regression bedeutet

Y Das Zielgroessenmerkmal

Xj Ein Einflussgroessenmerkmal (j = 1, 2, 3,...)

N Auswertbare Punktzahl (Datensaetze ohne Ausfall)

B Multiples Bestimmtheitsmass (multiples r-Quadrat)

F-Wert F-Testwert Nullhypothese Ho:B=0 (Kein modellmaessiger

Zusammenhang zwischen Y und den Xj nachweisbar)

FG FG=N-K, Freiheitsgrad der Reststreuung

KIW(B) Die Irrtumswahrscheinlichkeit bei einseitigem Test fuer

die Ablehnung der Nullhypothese Ho:B=0 (HA:B>0)

Koeffizient Der Zahlenwert des Regressions-Koeffizienten

Stdabw. Die geschaetzte Standardabweichung des Koeffizienten,

T-Wert t-verteilte Pruefgroesse zum Test der Nullhypothese

Ho:bj=0 (Koeffizient in der Grundgesamtheit Null?)

KIW Irrtumswahrscheinlichkeit bei zweiseitigem Test fuer

die Ablehnung der Nullhypothese Ho:bj=0 (HA:bj<>0)

Sr Reststreuung oder mittleres Residuum

Sj Prognosefehler/Vorhersagefehler nach Jackknife-Methode

Sw Prognosefehler/Vorhersagefehler mit Arbeitsstichprobe

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Startmenue der ùmultiplen linearen und quasilinearen Regression

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Abbruch Sie wollen zurueck ins Hauptmenue

Hilfe Sie wollen sich ueber multiple Regression informieren

CWA CWA-Regression (sehr oft optimal fuer Prognose)

Auf Schrittweiser Aufbau (Merkmalsauswahl und Prognose)

Abb Schrittweiser Abbau (Merkmalsauswahl und Prognose)

All Regression mit allen Einflussgroessen (Datenkompression)

Konstante Mit oder ohne Regressionskonstante bo im Modell

Alpha Festlegung des multiplen Signifikanzniveaus (0.05 / 0.01)

Bonferroni Alpha-Adjustierung nach Bonferroni bei Auf- oder Abbau

O.K. Weiter im Menue

- - -

Fortsetzung Menue der multiplen linearen und ùquasilinearen Regression

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Abbruch Sie wollen zurueck ins Hauptmenue

Hilfe Sie wollen sich ueber multiple Regression informieren

Y Sie wollen die Zielgroesse Y auswaehlen

X..X Sie wollen die Einflussgroesse(n) X auswaehlen

G Sie haben eine Gewichtsvariable (optional)

Trafo Lokale frei programmierbare Transformation anwenden?

Einfach Pol. Einfaches Polynomiales Standardmodell anwenden? PG=2-5

Vollst. Pol. Vollstaendiges Polynomiales Standardmodell? PG=2,3

Jack-knife Vorhersagefehler bei Auf/Abbau mit Jack-knife schaetzen?

Working sample Vorhersagefehler an einer Arbeitsstichprobe schaetzen?

Prognose Vorhersage fuer extra Daten berechnen lassen?

O.K. Ausfuehren der Regressionsanalyse

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Beispiel einer multiplen quasilinearen Regression mit den Testdaten

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Hier ein Ausschnitt der Testdaten:

Aufz1 Aufz2 Quad Wurz ..... iRand1 iRand2

1.000E+00 1.017E+00 1.034E+00 1.008E+00 ..... -1.000E+25 1.000E+00

2.000E+00 2.042E+00 4.168E+00 1.429E+00 ..... 1.000E+00 1.000E+00

........................................................................

4.900E+01 4.904E+01 2.405E+03 7.003E+00 ..... 1.000E+00 1.000E+00

5.000E+01 4.996E+01 2.496E+03 7.068E+00 ..... 0 0

Zielgroesse Quad (das Quadrat von Aufz2) soll durch durch die Einfluss-

groessen Aufz1, Wurz und iRand1 geschaetzt werden. In einer Trafo wird

zusaetzlich das Merkmal ln(Aufz2) erzeugt. Die originalen Merkmale Y und

X sind:

Y = Quad, X1 = Aufz1, X2 = Wurz, X3 = iRand1

Nach der Transformation:

Y = Quad, X1 = Aufz1, X2 = Wurz, X3 = iRand1, X4=lnAufz

Nach dem Aufbau des vollstaendigen polynomialen Modells 2-ten Grades:

Y = Quad, X1 = Aufz1, X2 = Wurz, X3 = iRand1, X4=lnAufz,

X5 = X1*X1, X6 = X2*X2, X7 = X3*X3, X8=X4*X4,

X9 = X1*X2, X10= X1*X3, X11= X1*X4,

X12= X2*X3, X13= X2*X4,

X14= X3*X4

Das Transformationsprogramm muessen Sie im Menuepunkt Trafo --> freie

Transformation editieren und compilieren. Der Programmname ist frei

waehlbar, 3/4 des Textes wird automatisch erzeugt. Fuer dieses Beispiel

lautet das Programm:

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Erwin$$$.trr(N,i,M,Q,S,ANZ,Y,p,X,Grup,Gew)

var M(20), Q(20), S(20), ANZ(20), X(100)

{ N = Zahl der Datenzeilen in der Datenbasis }

{ i = Nummer der aktuelle Datenzeile }

{ M = Datenzeile mit Merkmalswerten aus der Datenbasis }

{ Q = Vektor mit den Mittelwerten der belegten Merkmale }

{ S = Vektor mit den Standardabweichungen der belegten Merkmale }

{ ANZ = Vektor mit den Werteanzahlen der belegten Merkmale }

{ Y = Wert der Zielgroesse ( Default: Originale Zielgroesse ) }

{ p = Anzahl der berechneten Einflussgroessen X(1), X(2), ..., X(p)}

{ X = Vektor der Einflussgroessen X(1), X(2),... Default: Ausfall }

{ Ist vorbelegt mit den originalen Einflussgroessen }

{ Grup= Wert der Gruppierungsvariable ( Default: Orig. GrV. oder 1 ) }

{ Gew = Wert der Gewichtsvariablen ( Default: Originale GewV. oder 1)}

{ Bei freien Merkmalen sind die betreffenden Elemente der Vektoren }

{ M, Q, S, ANZ mit Ausfaellen belegt. X ist beim Aufruf vollstaendig }

{ mit Ausfaellen belegt. Die Werte sind zu berechnen und p zu setzen }

{ Ende des vorgefertigten Programmkopfes }

assign Aufz2=2 { Merkmal M(2) als lokale Groesse "Aufz2" verfuegbar

x(4)=ln(Aufz2) { berechnet das neue Merkmal X4 mit Funktion Logarith.

p=4 { meldet, dass insgesamt 4 Einflussgroessen existieren

writeln(i,Aufz2,x(4)) { Kontrollausgabe waehrend der Transformation

end

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Wirklich neu zu programmieren sind hier nur die letzten 5 Zeilen. Alles

davor ist ein vorgefertigter Programmkopf, der von DASY bereit gestellt

wird und auch nicht veraendert werden kann.

Auch wenn im Transformationsprogramm das Y-Merkmal rechnerisch erzeugt

wird, muss trotzdem beim Aufruf der Regression ein (beliebiges) Merkmal

als Y-Merkmal gewaehlt werden. Werden alle X-Merkmale berechnet, so muss

beim Aufruf der Regression ebenfalls ein (beliebiges) Merkmal als X-Merk-

mal gewaelt werden. (Dummy-Variable)

Wird in der Transformation die Variable GEW berechnet, dann wird diese

Gewichtung automatisch benutzt, auch wenn keine Gewichtsvariable in der

Datenbasis beim Aufruf der Regression ausgewaehlt wurde, d.h. hier ist

keine Dummy-Variable notwendig.

Wird die Variable GRUP in der Transformation berechnet, wird sie auto-

matisch als Gruppierungsvariable fuer den Menuepunkt WORKING SAMPLE inter-

pretiert (keine Dummy-Variable noetig). Will man sie jedoch zur Kenn-

zeichnung von Extradaten benutzen, muss beim Aufruf der Regression der

Menuepunkt PROGNOSE FUER EXTRADATEN angeklickt und ein (beliebiges) Merk-

mal als Gruppierungsvariable gewaehlt werden (Dummy-Variable).

ùEinfach-VA Einfache Varianzanalyse mit Mittelwertvergleich

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Die Varianzanalyse ist eine statistische Methode zur Beurteilung gruppier-

ter metrischer oder ranggeordneter Daten. Die Gruppierung erfolgt mit

Hilfe eines kategorialen oder nominalen Merkmals. Das Gruppierungsmerkmal

wird in der Literatur auch "Faktor" genannt. Seine Werte werden als

"Faktorstufen" bezeichnet und im Computer als ganze Zahlen behandelt

(kategoriales Merkmal). Die Werte des metrischen Merkmals zu einer Faktor-

stufe bilden eine Gruppe.

Die Literatur (EISENHART) unterscheidet zwei Modelle der Varianzanalyse:

Modell 1: Die Gruppierung der Daten ist durch den Versuchsplan vorgegeben.

Wir sprechen von einem "festen Modell". Hier interessiert vor allem, ob

Mittelwertunterschiede zwischen den Datengruppen statistisch gesichert

sind. Beispiel: Reissfestigkeit eines textilen Gewebes [N/m] nach

14-taegiger Exposition mit UVB-Bestrahlung in Abhaengigkeit von einer

Oberflaechenbeschichtung. Zielgroesse ist die Reissfestigkeit, Faktor

die Beschichtung mit den Stufen 1="unbeschichtet", 2="8 g Al/qm",

3="12 g TiO2/qm".

Modell 2: Die Gruppierung wird beobachtet, ist also zufaellig. Wir

sprechen vom "zufaelligen Modell". Hier interessiert, ob die Werte der

Zielgroesse innerhalb der Gruppen staerker oder schwaecher streuen, als

die Gruppenmittelwerte untereinander. Beispiel: Eine Herde Kuehe wird in

Gruppen eingeteilt. Gruppierungsmerkmal ist der Vater. Kuehe vom gleichen

Vater bilden eine Gruppe. Faktor ist Merkmal "Vater" mit den Stufen

1="Anton", 2="Bogumil", 3=... Zielgroesse ist die Jahresmilchleistung,

die eine Kuh bringt. Streuen diese Werte in den Gruppen weniger, als die

Mittelwerte zwischen den Gruppen, dann vermutet man einen genetischen

Einfluss des Vaters auf die Milchleistung durch Vererbung eines "Milch-

leistungsgens".

Ein Sonderfall ist der "Mittelwertvergleich korrelierter Gruppen".

Beispiel: Eine Patientengruppe wird vor und nach einer 14-taegigen Kur

untersucht und dabei der Blutdruck bestimmt. Frage: Gab es eine Ver-

aenderung des Gruppenmittels. Rechnet man nach Modell 1, dann ueber-

decken die grossen Unterschiede von Patient zu Patient die kleinen

Veraenderungen des Gruppenmittels. Wir haetten kaum eine Chance, die

Veraenderung statistisch zu sichern. Testet man jedoch den Mittelwert

der Einzeldifferenzen gegen Null, dann fallen die Patientenunterschiede

heraus und die eigentliche Veraenderung des Blutdrucks auf Grund der Kur

treten hervor.

Globaler Test: Ist die mittlere Varianz zwischen den Gruppen signifikant

groesser als die mittlere Varianz innerhalb der Gruppen, d.h. gibt es

einen signifikanten Einfluss des Faktors bzw. signifikante Unterschiede

in den Gruppenmitteln? Die Formeln werden hier nur kurz angedeutet:

Xges = Mittelwert aller n beteiligten x-Werte (metrisches Merkmal)

Xi = Mittelwert der x-Werte aus Gruppe i, i=1,..g, g=Gruppenzahl

SAQges = Summe der Abweichungsquadrate der x-Werte von Xges

SAQinn = Summe der Abw.quadrate innerhalb der Gruppen, d.h. ueber alle

g Gruppen die Abw.quadrate der x von ihrem zustaendigen Xi

SAQzwi = SAQges-SAQinn, die Summe der Abw.quadrate zwischen den Gruppen

MQzwi = SAQzwi/FGzwi Mittleres Quadrat mit Freiheitsgrad FGzwi=g-1

MQinn = SAQinn/FGinn Mittleres Quadrat mit Freiheitsgrad FGinn=n-g

Fgl = MQzw/MQinn globaler Fwert mit Freiheitsgraden (FGzwi, FGinn)

KIWgl = Kritische Irrtumswahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlich-

keit, dass dieser oder groessere Fwerte auftreten koennen

unter der Nullhypothese (kein Einfluss des Faktors). Der Wert

wird mit der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha ver-

glichen (einseitiger F-Test, da ein negativer Faktoreffekt

ohne Natur- oder Datenmanipulation nicht moeglich ist).

Der Mittelwertvergleich erfolgt paarweise, jedes Xi mit jedem Xj, d.h. es

werden h=g(g-1)/2 Einzelhypothesen getestet. Der Einzeltest erfolgt mit

Fij = ((Xi-Xj)^2 n1 n2) / (MQinn (n1 + n2)) Einzel-Fwert mit den Frei-

heitsgraden (1, FGinn)

KIWij= Kritische Irrtumswahrscheinlichkeit. Sie wird mit Alpha' ver-

glichen (entspricht in dieser Konstellation dem zweiseitigen

t-Test). Alpha' ist das adjustierte Alpha aus Holms Prozedur.

Holm's Prozedur sichert, dass die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit

Alpha fuer die Gesamtheit aller geprueften Hypothesen gilt. Je mehr Hypo-

thesen h, desto schaerfer der einzelen Test. Die Fij werden nach der

Groesse absteigend sortiert: F1, F2, ... Fh. Das KIW1 wird mit

Alpa'=Alpa/h verglichen, KIW2 mit Alpa'=Alpha/(h-1), KIW3 mit

Alpha'=Alpha/(h-2) usw. Sobald ein Vergleich nicht signifikant ausfaellt,

bricht Holms Prozedur ab. Alle weiteren Vergleiche sind ebenfalls nicht

signifikant.

Ein Sonderfall: Nach PERLI kann man den ersten Test (Maximales F=F1) auch

durch den globalen Test ersetzen. Zeigt der globale F-Test einen signifi-

kanten Faktoreinfluss an, dann wird der am hoechsten bewertete Mittelwert-

unterschied ebenfalls als signifikant erachtet, auch wenn Holms Prozedur

ihn verwerfen sollte. DASY meldet mit den Kuerzeln "gl"=globaler F-Test

bzw. "ei"=Einzel-F-Test, wie die Signifikanz des groessten Mittelwert-

unterschieds ermittelt wurde.

Datenanordnung der Messwerte und Faktoren beim Mittelwertvergleich und VA

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Modell 1 und 2 : Wir benoetigen ein metrisches Zielmerkmal und ein

kategoriales Gruppierungsmerkmal (Faktor). Es werden

maximal 20 Faktorstufen verarbeitet. Sind es mehr,

werden die restlichen Faktorstufen bergangen.

korrel. Gruppen: Wir benoetigen 2 oder mehr gleichartige metrische

Merkmale. Jedes Merkmal entspricht einer Faktorstufe

(z.B. "Blutdruck vor der Kur", "Blutdruck nach der Kur")

ùDr-Mittelwertvergleich: Im Druck zum Mittelwertvergleich bedeutet:

Mittel Arithmetischer Mittelwert

Anzahl Anzahl der im Mittelwert summierten Einzelwerte

Gruppe/Kat Gruppe bzw. Kategorie, d.h. die Faktorstufe

F-Wert Testgroesse F-verteilt mit FG1=1, FG2=n-g Freiheitsgraden

Ni, Nj sind die Gruppenumfaenge der verglichenen Gruppen

"gl" nach dem 1. F-Wert bedeutet "globaler F-Wert" be-

nutzt, "ei" bedeutet Einzel-F-Wert benutzt.

KIW Kritische Irrtumswahrscheinlichkeit zum F-Wert

Vergleich erfolgt nach Holms Prozedur mit Alpha'

Signif. Signifikanzniveau entsprechend >5%, <=5%, <=1%, <=0.1%

- - -

ùDr-korr-Mittelwertvergleich: In der Ausgabe bedeutet:

Gesamtanzahl Alle Werte aller beteiligten Merkmale

mittel-1 Mittelwert des links aufgefuehrten Merkmals (Gruppe)

mittel-2 Mittelwert des rechts aufgefuehrten Merkmals (Gruppe)

k Zahl der gueltigen Wertepaare (ohne Ausfaelle)

F-Wert Testgroesse F-verteilt mit FG1=1, FG2=k-1

"gl" nach dem 1. F-Wert bedeutet "globaler F-Wert"

"ei" bedeutet

KIW Kritische Irrtumswahrscheinlichkeit zum F-Wert

Signif. Signifikanzniveau entsprechend >5%, <=5%, <=1%, <=0.1%

- - -

ùDr-einf-VA: In der Ausgabe der einfachen Varianzanalyse bedeutet:

Mittel Arithmetischer Mittelwert

Anzahl Anzahl der im Mittelwert summierten Einzelwerte

Gruppe/Kat Gruppe bzw. Kategorie, d.h. die Faktorstufe

SAQ zwischen Summe der Abweichungsquadrate zwischen den Gruppen

(Faktorstufen) mit FG=g-1. g=Gruppenzahl

SAQ innerhalb Summe der Abweichungsquadrate innerhalb aller Gruppen

mit FG=N-g. N=Gesamtzahl aller Werte

SAQ gesamt Summe der Abweichungsquadrate aller Werte vom

Gesamtmittel mit FG=N-1

MQ Mittleres Abweichungsquadrat, d.h. MQ=SAQ/FG

Fwert Testgroesse testet MQzwischen>MQinnerhalb (signifikante

Gruppenunterschiede?) mit FG1=g-1, FG2=N-g

KIW Kritische Irrtumswahrscheinlichkeit zu F-Wert

Signif. Signifikanzniveau entsprechend >5%,<=5%,<=1%,<=0.1%

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Menue des Mittelwertùvergleichs und der Varianzanalyse

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Abbruch

Hilfe

Mittelwertvergleich unkorrelierter normalverteilter Grundgesamtheiten

Mittelwertvergleich korrelierter normalverteilter Grundgesamtheiten

Einfaktorielle Varianzanalyse

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Menue ùVA-Boxplots

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch Sie wollen die Boxplots nicht sehen

Hilfe Sie wollen sich informieren

Feinplot Feinlinige Graphik bis 20 Boxplots

Dickplot Groblinige Graphik bis 10 Boxplots

O.K. Sie wollen die Boxplots jetzt sehen

- - -

Die Boxplot-Graphik erscheint nur beim Mittelwertvergleich unkorre-

lierter Gruppen. Sie zeigt die Gruppen gemaess der Faktorwerte

(maximal 20) und ihre gegenseitige Lage. Faktorwert 3 wird als FW3.00

vor den Boxplot gesetzt. Bei Faktorwerten>9999 fehlt das "FW". Bei

Faktorwerten >999999 wird die Gruppennummer, z.B. GR0003 ausgegeben.

Faktorwerte, die sich nur in kleineren Nachkommastellen unterscheiden,

sollte der Anwender vermeiden, den Faktorwerte 2.777 und 2.778 erschei-

nen beide als FW2.78 in der Graphik.

Die Boxplots bestehen aus dem Korpos (links das 25%, rechts das 75%-

Quantil, geteilt durch den Median). Whiskers links (10%), rechts 90%-

Quantil. Minimum und Maximum als "o". Das Gruppenmittel ist eine Raute.

Ist der Gruppenumfang <5, erscheinen nur die Einzelwerte als "o".

Auswahlmenue ùCluster-/Diskriminanzanalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch Sie wollen zurueck ins Hauptmenue

Hilfe Sie wollen sich informieren

Cluster Sie wollen die Clusteranalyse durchfuehren

Diskrimi Sie wollen die Diskriminanzanalyse durchfuehren

- - -

Die Clusteranalyse benutzen Sie, wenn Sie noch keinerlei Klassenein-

teilung fuer Ihre Daten haben. Die von der Clusteranalyse gefundene

Klassenstruktur ist spekulativ und muss mit fachbezogenen Untersuch-

ungen bestaetigt oder verworfen werden.

Die Diskriminanzanalyse nehmen Sie, wenn bereits klassifizierte Objekte

vorliegen und Sie

- neue Objekte klassifizieren wollen

- effektive Klassifikationsmerkmale finden wollen

- den Klassifikationsfehler schaetzen wollen

- multiple Mittelwertvergleiche durchfuehren wollen

ùClusteranalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Der Begriff Clusteranalyse wurde 1939 von Tryon gepraegt.

Die Clusteranalyse hat die Aufgabe, in bislang unstrukturierten Daten

Cluster (Klassen) zu erkennen. Jeder Datenzeile (Objekt) wird somit eine

Klassennummer zugeordnet und in einem neuen Merkmal abgespeichert.

Die Clusteranalyse ist eine Basismethode der Klassifikation, wenn man

nichts ueber die Klassenstruktur der Daten weiss. Die Diskriminanz-

analyse, die DASY auch anbietet, ist im Anschluss an eine Clusteranalyse

nuetzlich zur graphischen Darstellung und zum Test der gefundenen

Klassenstruktur.

Das Ergebnis der Clusteranalyse ist entweder eine eindeutige Zuordnung

der Objekte zu Klassen (Clustern) oder eine Wahrscheinlichkeitsangabe

fuer die Klassenzuordnung (EM-Algorithm). DASY liefert nur die Klassen-

zuordnung mit der hoechsten Wahrscheinlichkeit.

Hat die Clusteranalyse eine Klassifikation der Daten vorgenommen, dann

kann die Diskriminanzanalyse auch die besten Trennvariablen suchen.

Literatur: Hans-Joachim Mucha, "Clusteranalyse mit Mikrocomputern",

Akademieverlag Berlin 1992.

Aus diesem Buch stammen auch die Testdaten "Diday.dat" von E. Diday.

Nr R SG Arb Weg Hau Kin Ein Pfl Ess Sch TV Fre

01 1 1 610 140 60 10 120 95 115 760 175 315

02 1 2 475 90 250 30 140 120 100 775 115 305

...............................................

28 4 7 434 86 297 21 129 102 94 799 58 380

Diese Daten stammen von 4x7 Personen aus den Regionen R=1=USA, R=2=West-

europa, R=3=Jugoslawien und R=4=Osteuropa. Die 10 Merkmale sind Zeitauf-

wendungen in Stunden*100 fuer

1. Arbeit, 2. Arbeitsweg, 3, Haushalt,

4. Kinder, 5. Einkauf, 6. pers”nliche Pflege,

7. Mahlzeiten, 8. Schlaf, 9. Fernsehen,

10. Freizeit

Die 7 sozialen Gruppen sind

SG=1 Berufstaetige Maenner SG=2 Berufstaetige Frauen

SG=3 Nichtberufstaetige Frauen SG=4 verheiratete Maenner

SG=5 verheiratete Frauen SG=6 unverheiratete Frauen

SG=6 unverheiratete Frauen

Der Autor von DASY war 1983-1991 Teamkollege von Hans-Joachim Mucha am

Karl-Weierstrass Institut zu Berlin, und hat viel von dieser Zusammen-

arbeit profitiert. Hans-Joachim Mucha sei hier besonders gedankt fuer

seine damalige Unterstuetzung und die zahlreichen Diskussionen zur

Clusteranalyse.

"Data Mining" ist eine Methodensammlung zur Identifikation von Mustern.

Hierunter fallen u. a. die Methoden:

Assoziationsanalyse (siehe Chi-Quadrat-Zerlegung nach LANCASTER)

Sequenzmusteranalyse (teilweise mit der KFA moeglich)

C l u s t e r analyse

R e g r e s s i o n s verfahren (siehe einfache und multiple Regr.)

Graphentheoretische Methoden

Entscheidungsbaeume

Beispiele Klassifikation:

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Klassifikation der Daten eines Microarrays ueber die Konzentrationen der

Additive und der Leuchtreaktion

Klassifikation von Schneckenpopulationen in Badischen Weinbergen

z.B. nach den Merkmalen Farbe, Groesse, Windungszahl.

Entdeckung der Weissen Zwerge und Roten Riesen durch Hertzsprung und

Russel, als sie den Logarithmus der Helligkeit und den Logarithmus der

Temperatur von Sternen als Plottvariablen benutzten.

Startmenue der Clùusteranalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch Sie haben es sich anders ueberlegt

Hilfe Sie wollen sich informieren

Ranking Sie wollen ein Ranking der Clustermerkmale

Kein Rank Sie wollen kein Ranking der Clustermerkmale

O.K. Sie wollen in der Clusteranalyse fortfahren

- - -

Das Merkmalsranking geht auf eine Untersuchung von A. von Eye, H.-J.

Mucha und S. von Weber aus dem Jahre 2005/2006 zurueck. Merkmale, die

einen hohen Rang erhalten, werden bei der Berechnung des Mahalanobis-

abstands hoeher gewichtet. In vielen Beispielen ergab sich eine bessere

Klassifikation.

Bei wenigen, sehr guten Clustermerkmalen arbeitet man ohne Ranking.

Empfehlung: Ab 8-10 Merkmale das Ranking einsetzen.

Fortsetzung Menue der Cùlusteranalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch Sie wollen zurueck ins Hauptmenue

Hilfe Sie wollen sich ueber die Clusteranalyse informieren

M...M Sie wollen die Merkmale fuer die Clusterung auswaehlen

Trafo Lokale frei programmierbare Transformation anwenden?

Einfach Pol. Einfaches Polynomiales Standardmodell anwenden? PG=2-5

Vollst. Pol. Vollstaendiges Polynomiales Standardmodell? PG=2,3

Linkage Linkage zwischen Single und Complete Linkage einstellen

Kernobjekte Kernobjekte der Klassen nach Methode 1, 2, 3 waehlen

Klassen Vorgabe der Klassenzahl fuer das Linkage

O.K. Ausfuehren der Clusteranalyse

- - -

Die Parameter im Menue bedeuten:

M..M sind die Clustermerkmale, die die Klassentrennung bewerkstelligen

sollen. Ihr Informationsgehalt ist entscheidend fuer die Guete

der Clusterung.

Trafo Sie haben die Moeglichkeit, durch ein kleines Programm neue

Clustermerkmale aus den vorhandenen zu berechnen oder die

vorhandenen zu transformieren. Diese Merkmalstransformation

ist temporaer, d.h. diese Merkmale werden nicht gespeichert.

Siehe unten "interner Ablauf". Weitere Hinweise zum Transfor-

mationsprogramm entnehmen Sie der Beschreibung der Diskriminanz-

analyse und dem Kapitel "freie Transformation".

Pol. Einfach polynomiales Standardmodell erzeugt die Potenzen zu den

vorhandenen Merkmalen, maximal bis zur 5. Potenz. Das voll-

staendig polynomiale Modell erzeugt auch alle Produkte bis zur

3. Potenz. Die Gesamtzahl der Merkmale darf jedoch 60 nicht

ueberschreiten (einfach ausprobieren).

Link Der Parameter Linkage hat Werte von 10 - 30 und steuert die

Anwendung und Mischung der 3 Linkage-Methoden Single Linkage=10,

Zentroid-Methode=20 und Complete Linkage=30. Default ist

Linkage=20, d.h. die reine Zentroidmethode.

Kernob. Methode 1: Das mittelste Objekt der Auswahl, dann das Objekt mit

dem weitesten Abstand von der Mitte, dann das Objekt mit dem

weitesten Abstand zu den beiden schon ausgewaehlten Objekten usw.

Methode 2: Wie Methode 1, aber ohne das mittelste Objekt.

Methode 3: Es wird eine maximal 5-dimensionale Dichtelandschaft

aufgebaut aus den ersten Merkmalen. In dieser Dichtelandschaft

wird das Objekt unter dem hoechsten Maximum als erstes Kernobjekt

genommen. Die weiteren Kernobjekte werden wie bei Methode 1

bestimmt.

Im Anschluss an Methode 1-3 erfolgt noch ein Austausch-

verfahren, bei dem Die Distanzsumme der Kernobjekte

maximiert wird.

Klass Der Parameter Klassen erlaubt, eine Vorgabe zur Klassenzahl

zu machen. Default ist k=5. Im Diskriminationsteil der

Clusteranalyse koennen Sie graphische interaktiv die Klassen-

zahl aendern, indem Sie Klassen vereinen oder teilen. Geben

Sie lieber ein paar Klassen zu viel an und reduzieren Sie dann

auf die gewuenschte Zahl.

Der interne Ablauf der Clusteranalyse:

1. Dateneingabe aus der Datenbasis. Durchfhrung einer eventuellen

lokalen Merkmalstransformation *.trr.

Die lokale Merkmalstransformation ist optional und erfordert ein

Transformationsprogramm *.trr, das im Programmteil "Transformationen"

erstellt und auf formale Richtigkeit getestet wird. Fehler, die erst

zur Laufzeit des Programms auftreten, koennen nur hier in der Cluster-

analyse erkannt werden (ein Beispiel siehe Diskriminanzanalyse).

Die berechneten Merkmale sind lokal, d.h. sie werden nach

Ausfuehrung der Clusteranalyse sofort wieder "vergessen". Sie

koennen die X-Variablen transformieren und die Anzahl der X-Variablen

verringern, belassen oder erhoehen.

Im Gegensatz zur Regressions- und Diskriminanzanalyse gilt jedoch:

- Es werden keine Y-Merkmalswerte benoetigt, und damit auch kein

Y-Merkmal. Da die Regression und die Diskriminanzanalyse ein

Y-Merkmal benoetigen, wird aus formalen Gruenden die Y-Variable

intern mitgeschleppt und immer Null gesetzt, egal was Sie pro-

grammieren (am besten, die Y-Berechnung einfach weglassen. Sie

koennen dann exakt dasselbe *.trr-Programm fuer eine nachfolgende

Diskriminanzanalyse unveraendert weiterverwenden).

- Es gibt keine Gewichts- und keine Gruppierungsvariable. Beide Werte

werden intern 1 gesetzt, egal, was Sie programmieren.

Berechnung zusaetzlicher Merkmale nach einem polynomialen Modell,

falls Sie ein solches angegeben haben. Maximal 60 Merkmale duerfen

insgesamt entstehen.

2. Dieser Schritt wird nur bei "Rankingverfahren" durchgefuehrt.

Ziehen einer Datenstichprobe bei zu vielen Daten.

Bildung dichotomer Variabler. Binaere Variable bleiben unveraendert.

Metrische Variable werden mit 2 Klassen dichotomisiert, wobei der

Median die Klassengrenze bildet. Kategoriale Merkmale mit k Klassen

muessen vom Anwender bereits im Vorfeld in k-1 binaere Merkmale umko-

diert werden, z.B. Merkmal Farbe (1=Rot, 2=Gruen, 3=Blau) in z.B.

Merkmal Rot (0=Nein, 1=Ja) und Merkmal Gruenblau (0=Gruen, 1=Blau).

3. Dieser Schritt wird nur bei "Ranking" durchgefuehrt.

Bildung der Kontingenztafel und Rangordnung der Merkmale, die mit

einem Informationsmass erfolgt. Das benutzte Informationsmass ist

I=Summe( f*f * e*e ). Hierbei ist f die Zellfrequenz und e der Erwart-

ungswert der Kontingenztafelzelle. Summiert wird ber alle Zellen.

4. Bildung der Korrelationsmatrix aller Merkmale, wobei jedoch die

in Schritt 2 erhaltene Reihenfolge (Rangordnung) eingehalten wird.

Es wird schrittweise die inverse Matrix berechnet und der Algorithmus

gestoppt, wenn kein Diagonalelement>EPSILON mehr vorhanden ist bzw.

wenn die gesamte Matrix invertiert ist.

Die Menge der Clustermerkmale nach dem Rankingverfahren und der In-

vertierung der Korrelationsmatrix ist die Menge der bei der nachfol-

genden Diskrimination zugelassenen Merkmale.

5. Ziehen einer Datenstichprobe, wenn die Speicherkapazitaet ueber-

schritten wird. Z-Transformation der Daten. Bei der Berechnung des

Mahalanobisabstands zwischen zwei Objekten werden die Beitraege

rangniedriger Merkmale heruntergewichtet (nur bei Rankingverfahren).

Suche von Kernobjekten, die als Ausgangspunkte der Klassen dienen

(Kondensationskeime). Default ist Methode 2. Im Anschluss an Methode

1-3 erfolgt noch ein Austauschverfahren, bei dem Die Distanzsumme

der Kernobjekte maximiert wird.

6. Bildung von k Clustern nach dem eingestellten Linkage-Verfahrensmix

(siehe Linkage-Verfahren). Parameter k gibt die gewunschte Klassen-

zahl vor (Default k=5) und jann in den Grenzen 2 - 20 vorgegeben

werden.

7. Falls eine Stichprobe gezogen wurde, werden die ueberzaehligen Objekte

den Clustern zugeordnet, zu denen sie den kleinsten Zentroid-Abstand

haben.

8. Diskrimination, Zuordnung der "fehlklassifizierten" Objekte zu ihren

"neuen" Klassen, Test auf Isoliertheit der Klassen und Fusion der am

wenigsten isolierten beiden Klassen (F-Test). Schritt 8 wird solange

wiederholt, bis entweder alle Klassen isoliert sind, oder der Anwender

die Iteration abbricht. Die Variablenauswahl in der Diskriminanz-

analyse wird mit Alpha=0.2 und die Teste auf Isoliertheit werden mit

ALPHA=0.05 ausgefuehrt

Die interaktive Arbeit mit der Graphik erlaubt:

- Akzeptanz des Vorschlags von DASY zum Zusammenlegen von Klassen

- Zusammenlegen zweier Klassen auf Anwenderwunsch hin

- Aufteilen einer Klasse in zwei Klassen auf Anwenderwunsch hin

- Zurueckgehen zu einer vorangegangenen Klasseneinteilung

- Beenden der Iteration.

Nach der "flexiblen Strategie" von Lance und Williams besteht eine Stu-

fenleiter von Methoden, deren Ergebnisse von langestreckten, ausgefrans-

ten Clustern ueber kompaktere Cluster zu kugelfoermigen Clustern reichen.

1. Single Linkage (Linkage=10)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Ein Verfahren, bei dem ein Objekt einem Cluster zugeordnet wird, falls

das Distanzmass minimal ist zu einem Objekt dieses Clusters. Es ent-

stehen langgezogene Ketten bzw. ausgefranste Cluster (Sterne).

2. Zentroid-Methode (Schwerpunktmethode) (Linkage=20)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Bei euklidischem Abstandsmass kann man den Schwerpunkt (Zentroid) jeder

Klasse bilden. Ein neues Objekt wird dem Cluster zugeordnet, dessen Zen-

troid am naechsten liegt. Das Gewicht des Clusters geht nicht in diese

Auswahlregel ein. Man kann mit dieser Methode Klassen mit sehr unter-

schiedlicher Objektzahl aufdecken. Ein neues Objekt im Cluster kann

dessen Minimalabstand zu seinen Nachbarzentroiden verringern oder ver-

groessern.

Ward-Methode (Minimalvarianzmethode)

Die Ergebnisse der Ward-Methode sind denen der Zentroid-Methode aehnlich.

Bei euklidischem Abstandsmass kann man Schwerpunkt und Varianz jeder

Klasse bilden. Ein neues Objekt wird dem Cluster zugeordnet, dessen

Varianz am wenigsten ansteigt. DASY verwendet die Clustervarianz nicht.

3. Complete Linkage (Linkage=30)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Ein Verfahren, bei dem ein Objekt dem Cluster zugeordnet wird, dessen

maximaler klasseninterner Abstand seiner Objekte am wenigsten ansteigt.

Es werden kompakte Cluster gebildet. Ausreisser und natuerliche Fransen

werden garnicht oder sehr spaet in den Cluster eingebunden.

Der Parameter " L i n k a g e " kann Werte von 10 bis 30 annehmen, auch

Zwischenwerte. So bedeutet z.B. Linkage=13, dass 70% vom Abstand nach

"Single Linkage" und 30% vom Abstand nach "Zentroidmethode" addiert

werden, und so den Abstand fuer die Fusionsregel ergeben.

Linkage=26 bedeutet z.B., dass 40% des Zentroidmethodenabstands und

60% der Aenderung des Complete-Linkage-Abstands addiert werden.

Neben den agglomerativen Methoden gibt es noch partitionierende Cluster-

methoden. Diese werden in DASY jedoch durch die Diskriminanzanalyse

ersetzt.

Abstandsmasse und Klassifikation

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Der Abstand zweier Objekte x-y ist ein wesentliches Kriterium fuer die

Einordnung in denselben Cluster.

Man benutzt sehr oft den Euklidischen Abstand, nachdem man die Merkmale

z-transformiert hat, d.h. auf Mittelwert 0 und Varianz 1.

Besser, aber etwas aufwendiger zu berechnen, ist das Quadrat des

Mahalanobisabstands

d^2 = (x-y)' S^-1 (x-y).

Dabei sind x dbzw. y die Merkmalsvektoren der Objekte und S^-1 die

inverse Kovarianzmatrix. Die Clusteranalyse und die Diskriminanzanalyse

in DASY benutzen immer den Mahalanobisabstand.

Die Linkage-Prozedur wird mit einer Auswahl der Objekte durchfgefuehrt,

wenn die Obejektzahl N>150 ist. Die verbleibenden Objekte werden in

einem Diskriminationsschritt nach der Zentroidmethode den gefundenen

Clusterkernen der Auswahl zugeordnet.

Der nachfolgende Diskriminanzanalyseteil der Clusteranalyse berechnet

t nichtelementare Diskriminanzmerkmale W1, W2, ... nach Ahrens/Laeuter

und benutzt den von ihnen aufgespannten Raum fuer die graphische Dar-

stellung und fuer die weitere Bearbeitung der Cluster. Die Merkmalsaus-

wahl im Diskriminanzteil erfolgt hier i m m e r nach dem Aufbau-

verfahren.

Die Diskrimination benutzt den minimalen Mahalanobisabstand zu den

Klassenmitteln, wobei dieser noch mit der apriori-Wahrscheinlichkeit

der Klassen, Pj=Nj/N, gewichtet wird. Nj ist der Klassenumfang vor der

Neuklassifikation, N die Zahl aller Objekte.

Nach einer Klassenzusammenlegung oder Klassenteilung entstehen neue

Clustermittel. Die Objekte werden erneut klassifiziert, und, da ja

a-priori keine Klassifikation gegeben ist, wieder neu den Klassen zu-

geordnet. Wundern Sie sich also nicht, wenn nach einer Klassenteilung

ein ganz anderes Bild herauskommt, als Sie erwartet haben. Notfalls

gehen Sie einen Schritt zurueck.

Werden Daten clusteranalysiert, die schon klassifiziert sind, dann kann

es bei gr”áeren Klassenzahlen ein Puzzle sein, die bereits vorhandenen

Klassennummern den von der Clusteranalyse vergebenen Klassennummern

zuzuordnen. Das Problem ist nicht immer eindeutig l”sbar. Eine Hilfe

bieten die charakteristischen Objekte, deren Satznummer in der Ausgabe

erscheint.

Datenaufbau fuer eine lineare Clusteranalyse

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

- Sie benoetigen eine oder mehrere C L u s t e r variablen Xj. Diese

koennen metrisch, binaer oder ranggeordnet sein. Maximal 19 Variable.

Es koennen aus den eingelesenen Variablen Xj durch Potenzieren

und/oder Multiplikation weitere X-Merkmale gewonnen werden (polyno-

miale Modelle). Die Gesamtzahl der X-Merkmale einschliesslich der er-

zeugten polynomialen Merkmale wird von DASY auf p=60 begrenzt.

Werden Zahlenwerte eines Merkmals dabei generell > 10^12, dann fallen

a l l e Daten aus! (Fehler "Weniger als 4 ausfallfreie Datensaetze")

- Ein kategoriales X-Merkmal mit k Kategorien muss durch eine Datentrans-

formationin in k-1 binaere Merkmale umcodiert werden (Beispiel Merk-

mal Haarfarbe mit den 3 Kategorien: K1=schwarz, K2=rot, K3=blond muss

in zwei binaere Merkmale umcodiert werden: M1=schwarz/nichtschwarz,

M2=rot/nichtrot). Diese Transformation wird nicht automatisch durchge-

fuehrt, sondern liegt beim Anwender.

ùCluster-Plot

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Die Graphik zur Clusteranalys zeigt den Diskriminanzraum mit der

Klasseneinteilung (blaue Trennlinien), die Klassenmittel (grosse Buch-

staben in grau oder heller Farbe: A, B, C, ... fuer die Klassen 1, 2,

3, ... ), die Objekte als kleine Buchstaben (a, b, c ....), wobei "a"

ein Objekt der Klasse A ist.

Ist der nichtelementare Merkmalsraum 1-dimensional, wird ausser der w1-

Koordinate eine knstliche w2-Koordinate (Zufallszahl) angelegt, damit

nicht alle Objekte auf der w1-Geraden kleben.

Links in der Graphik erscheint ein Menue. Die Felder werden durch An-

klicken aktiviert (rot umrandet) und durch nochmaliges Anklicken

deaktiviert. Unter dem Menue steht die Klasse, auf die der Cursor gerade

zeigt (wenn er in der Graphik positioniert ist). Unten links ist das

Nachrichtenfenster. Ueber der Graphik erscheinen die Empfehlungen.

Im Menue bedeutet:

- HILFE Es kommt dieser Text

- ABBRUCH Sie wollen die Clusteranalyse abbrechen. Es wird nichts

in das Protokoll ausgegeben und auch kein Zielmerkmal

erzeugt.

- W1-W3 Sie wollen die W1-W3-Projektionsebene sehen. W1, W2, W3, ...

sind die nichtlinearen Diskriminazmerkmale, die den Raum

aufspannen. W1-W2 ist die uebliche (beste) Projektion. Ob

Klassen sich durchdringen oder "uebereinander" angeordnet

sind, kann man dann mit der W1-W3-Projektion eventuell er-

kennen. Bei 1- oder 2-dimensionalem Diskriminanzraum gibt

es keine W1-W3-Projektion.

- TRENNLIN Die Trennlinien werden bei jeder Bilderneuerung gezeichnet

- BITMAP Gibt die Graphik als schwarz-weisse Bitmap aus (16 Farben).

Durch Umwandlung in eine echte Schwarz-Weiss-Graphik und

Umsetzung vom bmp- in das gif-Format ist eine erhebliche

Platzreduzierung und einfachere Einbindung in WORD-

Dokumente moeglich.

- PROJEKTI Voreingestellte Trennliniendarstellung ist die Berechnung

von Klassenbereichen i n der gewaehlten W-Ebene. Diese

Darstellung ist ein Kompromiss, um allen Klassen einen

Bereich in der W-Ebene zu geben.

Wird PROJEKTI aktiviert, dann wird als Klassenbereich die

Schnittflaeche des multidimensionalen Hyperbereichs der Klasse

mit der W-Ebene angezeigt. In dieser Darstellung koennen

Klassen, die zu weit von der W-Ebene entfernt liegen, keine

Schnittflaeche und damit auch keinen darstellbaren Klassen-

bereich haben. Man sieht eventuell weniger Bereiche, als

Klassen vorhanden sind.

Empfehlung: Arbeiten Sie moeglichst lange mit der voreinge-

stellten Projektion. Erst wenn die Klassenzahl reduziert ist

versuchen Sie die PROJEKTI-Darstellung. Diese wird auch in der

Diskriminanzanalyse benutzt.

- DICKPLOT Es wird der groessere Schriftsatz fuer die Skala und die Dar-

stellung der Objekte genommen. Beim Verkleinern fuer ein

Artikel bleibt die Graphik noch lesbar.

- VEREINE Sie klicken zuerst auf das Feld VEREINE. Wenn keine Trenn-

linien da sind, werden sie jetzt gezeichnet. Sie klicken dann

auf die Trennlinie zwischen den zwei Klassen, die Sie ver-

einigen moechten. Die Klassen werden zu einer Klasse zu-

sammengefasst.

Sind insgesamt nur noch zwei Klassen vorhanden, wird nicht

vereinigt. 2 ist die Mindestklassenzahl.

- TEILE Sie wuenschen die Aufteilung einer Klasse in zwei Klassen.

Das geht nur, wenn im Augenblick weniger als 20 Klassen

existieren. Geteilt wird mit einer Trennlinie, die Sie selbst

festlegen, indem Sie zwei Punkte innerhalb der Klasse

markieren, durch die die Linie verlaufen soll. Die Linie wird

dann von DASY automatisch verlaengert.

Sie klicken zuerst auf das Feld TEILE. Sind keine Trennlinien

da, dann werden sie jetzt gezeichnet. Dann klicken Sie auf

eine beliebige Stelle innerhalb der gewuenschten Klasse, die

Sie aufteilen wollen. Am linken Rand steht die Klassenbe-

zeichnung der von Ihnen ausgewaehlten Klasse.

Sie machen einen weiteren Klick innerhalb der gewaehlten

Klasse, um den ersten Punkt zu markieren, durch den die neue

Trennlinie verlaufen soll. Die Position wird rot markiert.

Ein weiterer Klick innerhalb der gewaehlten Klasse markiert

einen zweiten Punkt der Geraden. Die Gerade wird gezeichnet.

(Dieser zweite Klick entfaellt bei 1-dimensionalem Diskrimi-

nanzraum)

Durch einen letzten Klick markieren Sie die Haelfte der

Klasse, die die gerade bestehende Klassennummer behalten soll.

Fuer die andere Haelfte sucht DASY automatisch eine freie

Klassennummer.

Die Klassentrennung erfolgt in der gewaehlten Projektionsebene

W1-W2 bzw. W1-W3 genau an diesem Trennstrich, ohne andere

Dimensionen des Diskriminanzraums zu beachten.

- ZURUECK Sie wollen die vorangegangene Klasseneinteilung wiederhaben.

Maximal 2 Schritte koennen Sie zurueckgehen. Gehen Sie weiter

zurueck, landen Sie wieder bei der Anfangsklassifikation.

- ANFANG Sie wollen zur ersten urspruenglichen Klasseneinteilung der

Clusteranalyse zurueck (Anfangsklassifikation).

- AKZEPT Sie akzeptieren den Vorschlag des Programms zur Zusammenlegung

der beiden vom Programm ausgewaehlten Klassen (Klassenpaar

mit minimaler Isoliertheit nach Ahrens/Laeuter).

- O.K. Beenden des Programms Clusteranalyse. Die letzte Klassenein-

teilung wird als Zielmerkmal in die Datenbasis ausgegeben.

Sie k”nnen anschlieáend mit der Diskriminanzanalyse weitere

Tests und eine graphische Ausgabe der Klassenbelegung vor-

nehmen. Dabei geben Sie als Y-Merkmal dieses neu erzeugte

Merkmal an.

Druckbilderklaerung der Clusteranalyse

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ùCluster-Dr: In der Ausgabe der Diskriminanzanalyse bedeutet

A,B,.. kuenstliche Namen der Clustermerkmale nach Eingabe und

eventueller lokaler Transformation.

M01,.. Numerierung der Merkmale im Modell vor Merkmalsauswahl.

A 1 Fortlaufende Kennzeichnung A,B,C,... der Klassen, da-

hinter eine nicht unbedingt fortlaufende Klassennummer.

N Auswertbare Objektzahl (Datensaetze ohne Ausfall).

k Klassenzahl.

Nj Objektzahl in Klasse j, Klassenumfang.

Charakteristisches Objekt liegt am dichtestn am Klassenmittel.

In der Klassentabelle erscheint seine Zeilennummer.

W1,.. W-Koordinaten der Klassenmittel, maximal bis W5. - - -

- - -

ùDiskriminanzanalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Literatur: Heinz Ahrens und Juergen Laeuter: "Mehrdimensionale Varianz-

analyse", Akademieverlag Berlin 1981.

Aus diesem Buch stammen auch die Testdaten Hyperthy.dat von

Dr. H. Deckart, Nuklearmedizinische Klinik Berlin-Buch. Von insgesamt

23 Personen, die wegen Hyperthyreose (eine Schilddrsen-šberfunktion)

behandelt wurden, liegen Messungen vor. Die Patienten sind in 3 Klassen

eingeteilt:

Klasse 1 Behandlung erfolgreich

Klasse 2 Behandlung ohne Erfolg

Klasse 3 Erst Erfolg, dann Rueckfall

Die ersten 5 Messungen y1-y5 sind Radio-Jod-Werte vor der Behandlung

mit einem Medikament, die Messungen y6-y10 nach Abschluss der Therapie.

Der Autor von DASY war 1983-1991 Mitarbeiter von Prof. Dr. Juergen

Laeuter am Karl-Weierstrass Institut zu Berlin, und hat viel von dieser

Zusammenarbeit profitiert. Prof. Laeuter sei hier besonders gedankt fuer

seine damalige Unterstuetzung und die zahlreichen Diskussionen.

Die Diskriminanzanalyse hat folgende Hauptaufgaben:

- Klassifikationsregeln fuer Objekte auf der Grundlage einer Lernstich-

probe bereits klassifizierter Lernobjekte aufstellen und den zu er-

wartenden Klassifikationsfehler schaetzen

- Klassifikation neuer Objekte (Arbeitsobjekte) mit den aufgestelleten

Klassifikationsregeln durchfuehren und graphisch oder tabellarisch

darstellen

- Aufsuchen von signifikanten Trennmerkmalen zur Reduktion des Erfas-

sungsaufwandes von Klassifikationsdaten

- Test auf multivariate Mittelwertunterschiede zwischen Objektklassen.

- Test auf Isoliertheit von Objektklassen, insbesondere in Verbindung

mit der Clusteranalyse.

Beispiel Klassifikation:

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Ein Computerprogramm soll lernen, die GC-Kurven (Gas-Chromatographie)

von 10 verschiedenen Farbstoffloesungsmitteln sicher zu unterscheiden.

Man gibt von jeder GC-Kurve 10 bis 30 Werte aus charakteristischen

Bereichen des Chromatogramms als Datensatz ein. Um die Redundanz zu

verbessern, nimmt man pro Loesungsmittel mindestens 10 Chromatogramme

unterschiedlicher Proben desselben Loesungsmittels.

Die lineare Diskriminanzanalyse berechnet aus den 10-30 originalen

GC-Merkmalen ein oder mehrere Diskriminanzmerkmale sowie die Klassen-

grenzen. Die Klassengrenzen trennen im Diskriminanzraum, der von den

Diskriminanzmerkmalen aufgespannt wird, die Klassen voneinander ab.

Ein neues Chromatogramm ergibt einen Punkt im Diskriminanzraum. Man

nimmt die Klasse an, in deren Gebiet der neue Punkt liegt. Auf diese

Weise ist das Loesungsmittel ueber seine GC-Werte klassifizierbar.

Beispiel Merkmalsauswahl:

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Fuer die Klassifikation von Produktionsfehlern soll die Anzahl der

Messpunkte aus Zeitgruenden minimiert werden. An einer Stichprobe

von Teilen mit bekannten Fehlern werden genuegend viele Messungen

gemacht, um jeden Fehler eindeutig klassifizieren zu koennen. Jetzt

erfolgt eine automatische Reduktion der Merkmale auf die wesentlichen

Diskriminanzmerkmale, d.h. die Merkmalsmenge, die gerade noch eine

sichere Klassifikation erlaubt.

Beispiel Mittelwertvergleich:

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Unterscheiden sich Neugeborene aus Grossstaedten von Neugeborenen aus

laendlichen Gebieten. Zu jedem Neugeborenen werden Messdaten erhoben,

z.B. Gewicht, Laenge, Temperatur usw., aber auch die Herkunft (Gross-

stadt oder laendlicher Raum).

Das Programm berechnet den Mahalanobisabstand der beiden Klassen

(Stadt / Land), eine Art gewichteter Mittelwertabstand ueber alle

gemessenen Merkmale, und testet diesen Abstand auf Signifikanz.

Begriffe der Diskriminanzanalyse:

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Trennvariable: Ein messbares metrisches oder beobachtbares kategori-

ales Merkmal, das sich als besonders effektiv bei der Trennung von

Objektklassen zeigt.

Lernobjekt: Objekt mit bekannter Klassenzugehoerigkeit (im Gegensatz

zum Arbeitsobjekt, dessen Klassenzugehoerigkeit zu bestimmen ist).

Diskriminanzmerkmale: Kuenstlich erzeugte Merkmale (jedes ist eine

Linearkombination von Trennvariablen), die den Diskriminanzraum auf-

spannen. Die Diskriminanzmerkmale stehen senkrecht aufeinander.

Multivariate Mittelwertunterschiede: Klassenunterschiede nicht nur bei

einer Variablen beobachten, z.B. beim Gewicht, sondern bei vielen Merk-

malen simultan, z.B. Gewicht, Alter, Blutdruck, Geschlecht usw.

Diskriminanzraum: Von den Diskriminanzmerkmalen aufgespannter Raum.

Die Trennleistung der Diskriminanzmerkmale nimmt mit ihrer Nummer ab.

Die Ebene, die die beiden ersten Diskriminanzmerkmale aufspannen, wird

als Projektionsebene fuer die graphische Darstellung genommen, da in

ihr (fast immer) die Klassen am weitesten voneinander getrennt erschei-

nen.

Klassifikationsregel: Berechnung der Position eines Objektes im Dis-

kriminanzraum und Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der es einer

Klasse zugeordnet werden kann. Im allgemeinen nimmt man die Klasse, die

die gr”áte Wahrscheinlichkeit hat. In der medizinischen Diagnostik sind

aber auch andere Klassenzuordnungen interessant (Diagnose 1, Diagnose 2

usw.). Die Zuordnung wird vom Mahalanobisabstand Objekt-Klassenmittel

und vom Klassenumfang beeinflusst.

Der Klassifikationsfehler, d.h. die Zahl der falsch klassifizierten

Objekte im Verhaeltnis zur Gesamtzahl N der Objekte, sollte immer ent-

weder an einer Arbeitsstichprobe ermittelt werden oder mit einer Jack-

knife bzw. Bootstrap-Methode (in DASY nur Jack-knife m”glich).

Eine Arbeitsstichprobe erhaelt man bei ausreichend vielen Lerndaten

durch Teilung der Lerndaten in zwei Haelften, die eigentlichen Lern-

daten und die Arbeitsstichprobe zur Ermittlung des Klassifikations-

fehlers.

Die Jack-knife Methode teilt die Lernstichprobe in k Teilmengen, lernt

an k-1 Teilmengen und verifiziert an der verbliebenen einen Teilmenge.

Durch k-malige Wiederholung ist jede Teilstichprobe dann einmal

Arbeitsstichprobe.

Der Reklassifikationsfehler, d.h. der Klassifikationsfehler, der aus

der Lernstichprobe selbst berechnet werden kann, ist wenig aussage-

faehig. Bei genuegend vielen Merkmalen geht dieser immer gegen Null,

waehrend der tatsaechliche Klassifikationsfehler bei zu vielen Merk-

malen wieder ansteigt.

Der Mahalanobisabstand zwischen zwei Punkten im Diskriminanzraum be-

ruecksichtigt nicht nur den formalen euklidischen Abstand zweier

Punkte, z.B. zweier Klassenmittel, im n-dimensionalen Merkmalsraum,

sondern auch die Metrik. Die Metrik wird durch zwei Eigenschaften der

Daten bestimmt:

- Die Vektoren vom Gesamtmittel zu den K einzelnen Klassenmitteln

spannen einen n-1-dimensionalen Raum auf. Diese Vektoren stehen im

Allgemeinen nicht senkrecht aufeinander. Die Koordinatenachsen des

Raumes werden durch eine Hauptachsentransformation aus den im Allge-

meinen untereinander korrelierten Distanzvektoren berechnet.

- Die einzelnen Klassen werden als Streuellipsoide aufgefasst, d.h. die

Objekte, die ja Punkte im Raum sind, liegen verstreut um das Klassen-

mittel. Aus allen Streuellipsoiden der K Klassen wird ein gemitteltes

(gepooltes) Streuellipsoid berechnet. Dieses wird in Kugelform trans-

formiert, wodurch die Metrik des Raumes, in dem die Distanzvektoren

definiert sind, bestimmt wird.

Merkmalsauswahl:

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Entsprechend den Hauptaufgaben sind verschiedene Diskriminanzalgorithmen

zu empfehlen. Das erste Unterscheidungsmerkmal der Algorithmen ist die

Merkmalsauswahl:

- Bei hoher Merkmalszahl und wenig Lernobjekten wird immer das schritt-

weise Aufbauverfahren empfohlen. Ebenso bei der Suche nach signifi-

kanten Trennvariablen. Als Alternative gibt es das Abbauverfahren.

- Bei geringer Merkmalszahl und vielen Lernobjekten wird die Analyse

mit allen Merkmalen empfohlen. DASY entfernt jedoch automatisch

st”rende (extrem hoch korrelierte) Merkmale. Welches Merkmal aus einer

Gruppe extrem hoch korrelierter Merkmale entfernt wird, ist eher

zuf„llig.

Bei der Klassifikation neuer Objekte interessiert die Genauigkeit der

prognostizierten Klassifikation. Nicht der kleinste Reklassifikations-

fehler ist gefragt, sondern der kleinste Klassifikationsfehler bei neuen,

noch nicht klassifizierten Objekten. Zur Bestimmung benutzt man Jack-

knife- oder Bootstrap-Methoden (in DASY nur Jackknife) bzw. eine

Teilung der vorhandenen Daten in einen Lern- und einen Arbeitsteil. Die

Frage nach der Signifikanz der Trennvariablen stellt sich nicht bzw.

ist untergeordnet.

Das Auffinden signifikanter Einflussgroessen ist oft von wissenschaft-

lichem oder praktischem Wert. Das Ergebnis kann kausale Zusammenhaenge

erkennbar machen, oder aber den Erhebungsaufwand fuer Trennvariable

erheblich reduzieren helfen. Probleme beim Auffinden der signifikanten

Trenngroessen sind:

Aus einer Gruppe untereinander hoch korrelierter Trenngroessen wird

zumeist nur ein Merkmal mehr oder weniger zufaellig ausgewaehlt. Es ist

durchaus moeglich, dass eine ganze Reihe von Merkmalen dieselbe sig-

nifikante Trennschaerfe haben, wie das zufaellig gewaehlte Merkmal. Das

kann dann ein Hinweis daruf sein, dass ein versteckter Faktor alle

diese Merkmale steuert. Seltener tritt der Faktor selbst als Merkmal

auf. Es waere in diesem Falle sinnvoll, eine Faktoranalyse vorzuschal-

ten (in DASY nicht moeglich) und mit den Faktoren als Trennmerkmale

zu arbeiten

Liegen sehr viele Trennvariablen vor, dann muss eine Alpha-Adjus-

tierung, z.B. nach Holms Prozedur oder nach Bonferroni vorgenommen wer-

den (DASY bietet hier nur Bonferroni an), da sonst Zufallsmerkmale

eine Chance bekommen, als signifikant gemeldet zu werden (bei Alpha=5%

wuerden von 100 Zufallsmerkmalen immerhin 5 akzeptiert werden, wenn

keine Alpha-Adjustierung vorgenommen wird.)

"Schrittweises Aufbauverfahren oder Abbauverfahren" ist ein Verfahren,

bei dem ein Signifikanztest (F-Test) ueber die Aufnahme oder den Verbleib

einer Trennvariablen im Modell entscheidet. Die Vorteile sind:

- Nur Trennvariablen mit einem statistisch gesicherten Einfluss auf die

Reduktion des Reklassifikationsfehlers werden in das Modell aufgenommen

( Ausnahme: Ist kein Merkmal signifikant, wird das mit dem hoechsten

F-Wert genommen )

- Eine Gruppe hoch korrelierter Merkmale wird durch ein Merkmal vertreten

- Es entsteht eine robuste Loesung, die auch bei moderaten Veraenderungen

in der Datenbasis noch Bestand hat

"Diskriminanzanalyse mit allen Einflussgroessen" ist ein Verfahren, bei

dem nur Merkmale aus dem Modell entfernt werden, wenn eine so starke

lineare Abhengigkeit der Mermale diagnostiziert wird, dass numerische

Instabilitaeten auftreten. Der Vorteil ist:

- Fuer die Arbeitsstichprobe (und nur fuer diese) laesst sich der Re-

klassifikationsfehler maximal minimieren. Es haengt sehr vom Modell

ab, ob die Klassifikation auch fuer neue Objekte ausserhalb der Lern-

stichprobe noch vernuenftige Zahlen liefert. Am besten testet man das

Verhalten aus, indem man die Trennvariablen per Editor leicht variiert

und die so gewonnenen "neuen Objekte" klassifizieren laesst

Mittelwertvergleiche

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

- Es wird ein globaler F-Test ausgefuehrt (Ahrens/Laeuter S.106, Gl.7.12)

Er zeigt an, ob es insgesamt "irgendwelche" Mittelwertunterschiede

gibt.

- Der Sumultanvergleich jeder Klasse i gegen jede andere Klasse j fuehrt

auf eine Matrix Fij von F-Werten, die mit einem gemeinsamen Sicher-

heitspunkt Fsim verglichen werden. Hier kann ebenfalls eine Alpha-

Adjustierung nach Bonferroni verlangt werden (Menue). Ebenso kann der

Anwender waehlen, ob er gnadenlos alle k(k-1) Einzelteste ausgelistet

bekommt, oder aber eine "kurze Liste". d.h. nur die signifikanten bzw.

fast signifikanten Mittelwertvergleiche.

- Gleichzeitig mit dem Mittelwertvergleich wird auch ein paarweiser Test

auf Isoliertheit (Ahrens/Laeuter S.138, Gl. 7.73) der Klassen durchge-

fuehrt. Nicht isolierte Klassen lassen sich schlecht trennen. Im Zu-

sammenhang mit der Clusteranalyse sind sie ein Indiz fuer eine moeg-

liche Klassenzusammenlegung. Bonferroni-Adjustierung und "kurze Liste"

wie beim Simultanvergleich.

Klassifikationsstrategien

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

- ohne Aprioriwahrscheinlichkeit:

Die Einordnung in eine Klasse ist im Diskriminanzraum nur vom Quadrat

k des Euklidischen Abstand des Objektes zum naechstgelegenen Klassen-

mittel abhaengig, abgesehen von einem Faktor Nj/(Nj+1), der sich kaum

von 1 unterscheidet. Nj ist der Klassenumfang (Objektzahl in der Lern-

klasse).

- mit Aprioriwahrscheinlichkeit:

Die Einordnung in eine Klasse ist im Diskriminanzraum sowohl vom Qua-

drat d^2 des Euklidischen Abstands d als auch der Wahrscheinlichkeit

Pj der Klasse abhaengig. (Ahrens/Laeuter S. 131, Gl. 7.63).

Als Aprioriwahrscheinlichkeit wird die relative Haeufigkeit Pj=Nj/N

in den Klassen der Lerndaten genommen. Eine groáe Lernklasse hat damit

automatisch eine groessere Wahrscheinlichkeit, dass benachbarte

Objekte ihr zugeordnet werden.

Wann mann ohne oder wann man mit Aprioriwahrscheinlichkeit arbeitet,

dafuer gibt es kein Rezept. Richtschnur ist nur die Guete der Klas-

sifikation, die durch die Fehlerschaetzung bewertet wird.

Fehlerschaetzung der Klassifikation

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Wird ein Objekt einer falschen Klasse zugeordnet, liegt ein Klassifi-

kationsfehler vor. Wir unterscheiden in DASY:

- Reklassifikationsfehler: Die Objekte der Lernstichprobe werden reklas-

sifiziert, d.h. einer Klasse zugeordnet. Mit steigender Merkmalszahl p

nimmt dieser Fehler ab. Man darf sich davon jedoch nicht taeuschen

lassen. Eine Klassifikation von Objekten, die nicht in der Lernstich-

probe waren, werden desto schlechter klassifiziert, je mehr unnoetige

Merkmale verwendet werden.

- Jackknife-Fehler: Die Lernstichprobe wird in viele zufaellig ausge-

wuerfelte Teile unterteilt (meist 10). Neun werden als Lernstichprobe

benutzt fuer die Merkmalsauswahl, dann werden die Objekte der 10. Teil-

stichprobe klassifiziert. Das Ganze wird 10 mal durchgefuehrt, bis jede

Teilstichprobe einmal klassifiziert wurde. Diese Art der Fehler-

schaetzung ist recht realistisch, was die Fehlerrate bei voellig neuen

Objekten betrifft.

- Working-Sample Fehler: Hat man sehr viele Daten, kann man die Daten

in Lern- und Arbeitsdaten teilen. An der Lernstichprobe wird die Merk-

malsauswahl vorgenommen, an der Arbeitsstichprobe wird die richtige

Klassifikation ueberprueft. Diese Art der Fehlerschaetzung ist die

realistischste, was die Fehlerrate bei voellig neuen Objekten betrifft.

Viele Daten liegen vor, wenn jede Klasse im Schnitt mit mehr als 30

Objekten besetzt ist. Das Teilen der Daten gelingt mit einer 0-1-Grup-

pierungsvariablen (Gehen Sie ins DASY-Hauptmenue, waehlen Sie Trafos,

dann das zufaelliges 0-1-Merkmal und dieses dann als Gruppierungsvari-

able in der Diskriminanzanalyse angeben )

Datenaufbau fuer eine lineare Diskriminanzanalyse

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

- Sie benoetigen eine kategoriale Z i e l variable Y mit Klassennummern

und eine oder mehrere T r e n n variablen Xj. Diese koennen metrisch,

binaer oder ranggeordnet sein.

DASY akzeptiert maximal K=20 Klassen. Die Klassen muessen nicht fort-

laufend durchnumeriert sein. Als Klassennummern sind alle Zahlen

0<k<250 zugelassen. In der Graphik erscheinen statt der Klassennummern

die Buchstaben A,B,C,...,T.

Es koennen aus den eingelesenen Trennvariablen Xj durch Potenzieren

und/oder Multiplikation weitere Trennmerkmale gewonnen werden (polyno-

miale Modelle). Die Gesamtzahl der X-Merkmale einschliesslich der er-

zeugten polynomialen Merkmale wird von DASY auf p=60 begrenzt.

- Ein kategoriales X-Merkmal mit k Kategorien muss durch eine Datentrans-

formationin in k-1 binaere Merkmale umcodiert werden (Beispiel Merk-

mal Haarfarbe mit den 3 Kategorien: K1=schwarz, K2=rot, K3=blond muss

in zwei binaere Merkmale umcodiert werden: M1=schwarz/nichtschwarz,

M2=rot/nichtrot). Diese Transformation wird nicht automatisch durchge-

fuehrt, sondern liegt beim Anwender.

- Falls Sie genuegend Daten haben, koennen Sie diese in eine Lern- und

eine Arbeitsstichprobe teilen. Die Schaetzung des Klassifikations-

fehlers wird so sicherer. Dafuer benoetigen Sie jedoch eine zusaetz-

liche G r u p p i e r u n g s variable, die einen Wert >0 und <=250,

z.B. 1 fuer alle Datenpunkte der Lernstichprobe aufweist, und den

Wert =0 fuer die Arbeitsstichprobe, an der die richtige Klassifikation

getestet wird.

"Trennung der Daten in Lern- und Arbeitsstichprobe" und "Berechnung

der Zielgroesse fuer neue Objekte" schliessen sich in DASY aus.

- Falls sie die Zielgroessenwerte (Klassennummern) fuer "neue Objekte"

vorhersagen wollen, von denen die Klassennummer nicht bekannt ist,

dann benoetigen Sie ebenfalls die G r u p p i e r u n g s variable.

Sie muss fuer die "neuen Objekte" den Wert 0 aufweisen. Der Wert der

Zielgroesse Y fuer die "neuen Objekte" ist beliebig (z.B. Null), darf

aber kein Ausfall sein. Bei den Lerndaten muss der Wert der Gruppier-

ungsvariablen zwischen 1 und 250 liegen, z.B. 1.

- Bei gewichteter Diskriminanzanalyse benoetigen Sie eine Gewichts-

variable. Gewichte sind Zahlen Gi>=0.001 und Gi<1000. Fuer extra

Objekte (neue Objekte) bzw. fuer Arbeitsdatensaetze darf Gi=0 sein.

Noch einmal tabellarisch kurz:

Lernobjekte haben Klassennummer 1-250, Gruppierungsvariable=1

Arbeitsobjekte haben Klassennummer 1-250, Gruppierungsvariable=0

Extra Objekte haben Klassennummer 0 , Gruppierungsvariable=0

Arbeitsobjekte und extra Objekte k”nnen nicht in eine Datei

Der Ablauf einer Diskriminanzanalyse:

- Uebernahme der ausgewaehlten "originalen" X- und der einen Y-Variablen

und eventuell einer Gruppierungsvariablen und/oder Gewichtsvariablen

- Wenn verlangt, dann Ausfuehrung einer programmierten lokalen Merkmals-

transformation *.trr in "sekundaere" Variablen

- Wenn verlangt, dann Anwendung eines "Polynomialen Standardmodells"

- Ausblenden aller Datenpunkte y, x1, x2,..., xp mit Ausfaellen oder zu

grossen Zahlenwerten (>1e12)

- Bei verlangter Jack-knife Fehlerschaetzung zufaellige Gruppenbildung

der Datenpunkte

- Berechnen der Kovarianzmatrizen, Eigenwerte, Diskriminanzmerkmale

- Bestimmung des Reklassifikationsfehlers, bei vorhandener Arbeitsstich-

probe auch die Bestimmung des Klassifikationsfehlers der Arbeitsstich-

probe

- Bei verlangter Jack-knife Fehlerschaetzung Berechnung des Fehlers

- Ausgabe der Ergebnisse und statistischen Kennzahlen

- Graphische Darstellung der Klasseneinteilung und Zuordnung

- Ausgabe der Erwartungswerte der Zielgroesse als neue Variable, d.h.

die neuen Klassennummern, und eventuell Ausgabe einer Ident-Variablen

mit Objekten, die in der Graphik markiert wurden.

Die lokale Merkmalstransformation ist Optional und erfordert ein Trans-

formationsprogramm *.trr, das im Programmteil "Transformationen" erstellt

und auf formale Richtigkeit getestet wird. Fehler, die erst zur Laufzeit

des Programms auftreten, koennen nur hier in der Diskriminanzanalyse er-

kannt werden.

Die berechneten Merkmale sind lokal, d.h. sie werden nach

Ausfuehrung der Diskriminanzanalyse sofort wieder "vergessen". Sie koennen

die X-Variablen und/oder die Y-Variable transformieren und die Anzahl der

X-Variablen verringern, belassen oder erhoehen. Ebenso sind die Werte

einer Gruppierungs- und/oder Gewichtsvariablen setzbar.

Das folgende Beispiel transformiert die Hyperthyerose-Daten so, dass aus

jeder Variablen die Wurzel gezogen wird. Datenausfaelle werden wieder zu

Datenausfaellen. Negative Werte wuerden ebenfalls zu Ausfaellen werden.

Diskrimi.trr(N,i,M,Q,S,ANZ,Y,p,X,Grup,Gew)

var M(20), Q(20), S(20), ANZ(20), X(100)

{ N = Zahl der Datenzeilen in der Datenbasis }

{ i = Nummer der aktuelle Datenzeile }

{ M = Datenzeile mit Merkmalswerten aus der Datenbasis }

{ Q = Vektor mit den Mittelwerten der belegten Merkmale }

{ S = Vektor mit den Standardabweichungen der belegten Merkmale }

{ ANZ = Vektor mit den Werteanzahlen der belegten Merkmale }

{ Y = Wert der Zielgroesse ( Default: Originale Zielgroesse ) }

{ p = Anzahl der berechneten Einflussgroessen X(1), X(2), ..., X(p)}

{ X = Vektor mit den berechneten Einflussgroessen X(1), X(2),... }

{ Grup= Wert der Gruppierungsvariable ( Default: Orig. GrV. oder 1 ) }

{ Gew = Wert der Gewichtsvariablen ( Default: Originale GewV. oder 1)}

{ Bei freien Merkmalen sind die betreffenden Elemente der Vektoren }

{ M, Q, S, ANZ mit Ausfaellen belegt. X ist beim Aufruf vollstaendig }

{ mit Ausfaellen belegt. Die Werte sind zu berechnen und p zu setzen }

{ Ende des vorgefertigten Programmkopfes }

{ Aus den 10 Merkmalen M03-M12 der Hyperthyerose-Daten soll

{ die Wurzel gezogen werden, das Y-Merkmal (Klassennummern) wird

{ nicht veraendert

assign aa=3, bb=4, cc=5, dd=6, ee=7, ff=8, gg=9, hh=10, ii=11, jj=12

x(1)=sqrt(aa)

x(2)=sqrt(bb)

x(3)=sqrt(cc)

x(4)=sqrt(dd)

x(5)=sqrt(ee)

x(6)=sqrt(ff)

x(7)=sqrt(gg)

x(8)=sqrt(hh)

x(9)=sqrt(ii)

x(10)=sqrt(jj)

p=10 { 10 X-Mermale nach der Transformation

write(i,aa,x(1)) { Kontrollausgabe

end

Der Programmkopf (20 Zeilen) wird vom Trafo-Editor automatisch eingesetzt.

Der Anwender programmiert nur die Anweisungen von Kopfende bis "end".

Polynomiale Standardmodelle sind:

- Einfach Polynomial: Zu jedem im Modell vorhandenen X-Mermal wird bei

Polynomgrad PG=2 ein X*X-Merkmal zusaetzlich erzeugt, bei

Polynomgrad PG=3 ein Merkmalspaar X*X und X*X*X zusaetzlich erzeugt usw.

- Vollstaendig Polynomial: Wie einfach Polynomial, aber zusaetzlich

noch alle Produkte der vorhanden X-Merkmale, z.B. bei

PG=2 und X1,X2 entstehen zusaetzlich X1*X1, X2*X2, X1*X2, bei

PG=3 und X1,X2 entstehen zusaetzlich X1*X1, X1*X1*X1, X2*X2, X2*X2*X2,

X1*X2, X1*X1*X2, X1*X2*X2

Das einfach polynomiale Standardmodell ist auf PG=2,3,4,5 beschraenkt

Das vollstaendige Polynomiale Modell ist auf PG=2,3 beschraenkt.

Uebersteigt die erzeugte gesamte Merkmalszahl die Beschraenkungen von

DASY (maximal 60 Merkmale), dann wird das Modell abgelehnt.

Immer das zuletzt angegebene Polynomiale Modell gilt. Haben Sie ver-

sehentlich ein polynomiales Modell gewaehlt, koennen sie es durch die

Eingabe einer 0 als Polynomgrad wieder entfernen.

Alle Zahlen, deren Betrag groesser als 10^12 ist, werden als Ausfaelle

betrachtet. Das gilt sowohl fuer die originalen Ausfaelle (intern -1E25)

als auch fuer Daten, die erst durch die Transformation oder durch das

polynomiale Standardmodell erzeugt werden.

Die Schaetzung des Klassifikationsfehlers mittels Jack-knife erfordert

eine mehrfache Berechnung der Diskriminanzanalyse. Die Datenpunkte werden

zufaellig in moeglichst gleich grosse Gruppen unterteilt. Es wird 10-mal

die Diskriminanzanalyse berechnet, wobei immer eine der Gruppen nicht zur

Berechnung der Koeffizienten benutzt wird, aber zur Fehlerschaetzung der

Jack-knife-Methode.

Eine erfolgreiche Diskriminanzanalyse liefert die zugeordneten Klassen-

nummern der Objekte. War ein Ausfall aufgetreten, ist auch die Klassen-

nummer ein Ausfall. Es entsteht dabei ein neues kategoriales Merkmal. Hat

die Zielgroesse Y die Merkmalsbezeichnung "abc", dann heisst das neue

Merkmal "disABC". Die Klassennummern stammen aus derselben Menge, wie die

Klassennummern der Lernobjekte. Bei extra Objekten wird die originale

Klassennummer fehlen, da sie ja nicht bekannt ist.

Druckbilderklaerung der Diskriminanzanalyse

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ùDiskrim-Dr: In der Ausgabe der Diskriminanzanalyse bedeutet

Y Das Zielgroessenmerkmal mit den originalen Klassennummern

A,B,.. kuenstliche Namen der Trennmerkmale nach Eingabe und

eventueller lokaler Transformation

A007,..Fortlaufende Kennzeichnung A,B,C,... der Klassen, dahinter

die originale Klassennummer 7, 23, 49, ... aus den Daten

M01,.. Numerierung der Merkmale im Modell vor Merkmalsauswahl

N Auswertbare Objektzahl (Datensaetze ohne Ausfall)

Nj Objektzahl in Klasse j

Gesamt-F fuer den globalen F-Test auf Mittelwertunterschied

mit den Freiheitsgraden FG1 und FG2

KIW Irrtumswahrscheinlichkeit (P-Value) bei Ablehnung von Ho

F-Wert fuer jeden Einzelvergleich wird mit dem Sicherheitspunkt

der F-Verteilung verglichen

Signif Ein * bedeutet einen signifikanten Mittelwertunterschied

oder eine signifikante Isoliertheit der beiden Klassen

Matrix In der Diagonalen stehen die Azahlen der richtig klassifi-

zierten Objekte, im Rest der Zeile die Anzahlen der falsch

klassifizierten Objekte

- - -

Startmenue der linearen Diùskriminanzanalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch Sie wollen zurueck ins Hauptmenue

Hilfe Sie wollen sich ueber die Diskriminanzanalyse informieren

Auf Schrittweiser Aufbau (Merkmalsauswahl und Klassifikation)

Abb Schrittweiser Abbau (Merkmalsauswahl und Klassifikation)

All Diskriminanzanalyse mit allen Trenngroessen

Alpha Festlegung multiples Signifikanzniveau (0.1 /.../ 0.01)

Bonferroni Alpha-Adjustierung nach Bonferroni bei Auf- oder Abbau

Vergleiche Mit oder ohne Mittelwertvergleiche der Klassenmittel

Bonferroni Alpha-Adjustierung nach Bonferroni bei Mittelwertvergleich

Kurzliste Kurze Liste (nur signifikante) der Mittelwertvergleiche

O.K. Weiter im Menue

- - -

Fortsetzung Menue der linearen Disùkriminanzanalyse

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch Sie wollen zurueck ins Hauptmenue

Hilfe Sie wollen sich ueber die Diskriminanzanalyse informieren

Y Sie wollen die Zielgroesse Y auswaehlen

X..X Sie wollen die Trenngroesse(n) X auswaehlen

G Sie haben eine Gewichtsvariable (optional)

Trafo Lokale frei programmierbare Transformation anwenden?

Einfach Pol. Einfaches Polynomiales Standardmodell anwenden? PG=2-5

Vollst. Pol. Vollstaendiges Polynomiales Standardmodell? PG=2,3

Jack-knife Klassifikationsfehler mit Jack-knife schaetzen?

Working sample Klassifikationsfehler an einer Arbeitsstichprobe schaetzen?

Kl. neue Obj. Klassifikation neuer Objekte

Apriori Klassifikation mit Aprioriwahrscheinlichkeit

O.K. Ausfuehren der Diskriminanzanalyse

- - -

Beispiel einer Diskriminanzanalyse mit den Hyperthyreose-Daten

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

DASY-Protokoll DASY FH Furtwangen

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ 14.04.05 17:59:57

Datenfile D:\L\DASY\HYPERTHY.DAT

mit 23 Datenzeilen und 12 Spalten gelesen

Diskriminanzanalyse mit der Zielgroesse y=M01=Kl

Trennmerkmale: A=M03=y1 B=M04=y2 C=M05=y3 D=M06=y4

E=M07=y5 F=M08=y6 G=M09=y7 H=M10=y8 I=M11=y9

J=M12=y10

Optionen: Vergleich,

Jk, ap,

Eigenwerte: 9.094 0.547

Objektzahlen, Gesamt- und Klassenmittel im w-Raum

Ges/Klasse N/Nj W1 W2

Gesamt 23 -1.455 -1.510

A 101 16 -2.482 -1.890

B 102 4 4.574 -1.239

C 103 3 -4.011 0.157

Gesamt-F= 5.302 mit FG1=1, FG2=11, KIW=0.0418

Simultanvergleich der Klassen:

gemeinsamer Sicherheitspunkt F= 2.854, FG1=10 FG2=11

Klasse mit Klasse F-Wert Signifikanz

A 001 B 002 8.837 *

A 001 C 003 0.907

B 002 C 003 7.133 *

Simultanvergleich auf Isoliertheit:

gemeinsamer Sicherheitspunkt F= 3.522, FG1=2 FG2=19

Klasse mit Klasse F-Wert Signifikanz

A 001 B 002 5.165 *

A 001 C 003 0.649

B 002 C 003 6.957 *

Berechnete-Klassen-Merkmal disKL ist Merkmal M13.

Diskrim.-Ident-Merkmal didKL ist Merkmal M14.

mit 2 identifizierten Objekten.

Matrix Reklassifikation: Fehler 8.70 % (2 von 23)

orig\ber: A001 B002 C003

A001 15 0 1

B002 0 4 0

C003 1 0 2

Jackknife-Klassifikation: Fehler 34.78 % (8 von 23)

orig\ber: A001 B002 C003

A001 10 1 5

B002 2 2 0

C003 0 0 3

Koeffizienten der nichtlinearen Diskriminanzmerkmale

Trennmerkmal W1 W2

01=y1 =A -2.140E-02 -2.739E-02

02=y2 =B -7.720E-02 1.069E-01

03=y3 =C 7.209E-02 -1.918E-01

04=y4 =D -1.145E-02 7.420E-02

05=y5 =E -5.277E-02 1.852E-01

06=y6 =F 1.083E-01 -6.495E-02

07=y7 =G 3.859E-02 7.171E-02

08=y8 =H -2.044E-02 2.254E-02

09=y9 =I -7.463E-02 -8.533E-03

10=y10 =J 1.819E+00 2.357E-01

ùDiskrim-Plot

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Die Graphik zur Diskriminanzanalys zeigt den Diskriminanzraum mit der

Klasseneinteilung (blaue Trennlinien), die Klassenmittel (grosse Buch-

staben in grau oder heller Farbe: A, B, C, ... fuer die Klassen 1, 2,

3, ... ), die Objekte als kleine Buchstaben (a, b, c ....), wobei "a"

ein Objekt der Klasse A ist.

Ist der nichtelementare Merkmalsraum 1-dimensional, wird ausser der w1-

Koordinate eine knstliche w2-Koordinate (Zufallszahl) angelegt, damit

nicht alle Objekte auf der w1-Geraden kleben.

Links in der Graphik erscheint ein Menue. Die Felder IDENT und EDIT

werden durch Anklicken aktiviert (rot umrandet) und durch nochmaliges

Anklicken deaktiviert. IDENT und EDIT schliessen sich gegenseitig aus.

Im Menue bedeutet:

- Hilfe: Es kommt dieser Text

- Ident: Identifizieren von Objekten heisst, dass eine Ident-Variable

erzeugt wird, die die w1-Koordinate der identifizierten Objekte

enthaelt. Nicht identifizierte Objekte haben einen Ausfallwert

(-1e25 intern). Identifizierte Objekte werden zudem in der

Graphik pink gefaerbt und ihre Objektnummer im Ident-Fenster

mit Minus markiert.

Erst Klick auf Ident, dann Klick auf die Graphik. Im Ident-

Fenster links unten erscheint die scrollbare Liste aller Objekte

(fortlaufende Objektnummern) im Umkreis von einigen Pixeln um

die Kursorspitze. Durch Klick auf "IdentAll" werden alle Objekte

in der Ident-Liste (auch gerade im Ident-Fenster nicht sicht-

bare) identifiziert.

Wird nicht identifiziert oder alles rueckgaengig gemacht, dann

wird auch kein Ident-Merkmal erzeugt.

Nochmaliges Anklicken eines identifizierten Objektes entfernt

das Objekt wieder aus der Ident-Variablen.

Wurde mit "IdentAll" die gesamte Liste indentifiziert, dann

reicht nochmaliges Anklicken von IdentAll, um die gesamte Liste

rueckgaengig zu machen.

- Bitmap Ausgabe der gerade vorliegenden Graphik als Bitmap (aber ohne

das linke Randmenue und ohne das Kursorbild)

- Edit Es erscheint das Edit-Menue (durch nochmaliges Anklicken

kann man es deaktivieren):

Dickplot Grosse Schrift (nur bei kleiner Objektzahl geeignet)

W1-W3 Darstellung in der W1-W3-Ebene, falls 3 oder mehr

nichtelementare Diskriminanzmerkmale berechnet

werden.

OA 1 2 3 Objektauswahl (2,3 nur bei vorhandener Gruppier-

ungsvariablen anwaehlbar)

1 Es werden alle Objekte gezeigt

2 Es werden nur Lernobjekte gezeigt

3 Nur Arbeitsobjekte bzw. extra Objekte

. .

Ansicht Ansicht der Graphik ohne stoerende Menueleiste

Farbfelder Erst Farbe anklicken, dann Text1, Text2, ... oder

Klasse a,b,... anklicken

a . . . Objektdarstellung durch Kleinbuchstabe, Karo groá,

Karo klein, Punkt

a,b,... Klassensymbole zum Einfaerben der Klassen

Text 1,2,.. Eingabe, Korrektur oder Faerben eines Textes

Position Erst auf "Position", dann in die Graphik klicken.

Der aktivierte Text wird dort positioniert.

- O.K. Beenden des Programms Diskriminanzanalyse

SICFA:Kontingenztafelanalyse mittels ùKonfigurationsfrequenzanalyse (KFA)

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Der Begriff Konfigurationsfrequenzanalyse wurde 1968 von G.A.Lienert ge-

praegt (KFA oder englisch Configuration Frequency Analysis CFA). Leider

war es dem Autor nicht mehr vergoennt, Prof. Lienert persoenlich zu

sprechen, wohl aber seinen engsten Mitstreiter, Prof. Joachim Krauth, der

sowohl zusammen mit Lienert als auch allein Buecher und Artikel zur KFA

veroeffentlicht hat. Des weiteren ist der Autor in staendigem Kontakt zu

Prof. Alexander von Eye und Prof. Erwin Lautsch, beides Autoren und

Forscher auch auf dem Gebiet der KFA.

SICFA ist die Abkuerzung von "Simulation CFA" und der Name der Software,

die zusammen mit dem Buch von Lautsch/v.Weber: Methoden und Anwendungen

der KFA, Beltz Psychologie Verlags Union, Weinheim 1995, ausgeliefert

wurde. Die SICFA-Software ist seit 2001 integraler Bestandteil von DASY.

Viele Merkmale aus Psychologie, Paedagogik, Medizin usw. sind nominal oder

kategorial. Beispiel eines nominalen Merkmals ist der Beruf. Er laesst

sich nicht aus anderen Daten ermitteln. Beispiel eines kategorialen Merk-

mals ist der Koerperbautyp: Athletisch, leptosom, pyknisch. Hier liegen

messbare Merkmale zu Grunde, die zu einer solchen Einteilung in Kategorien

fuehren.

Nominale und kategoriale Merkmale werden statistisch gesehen meist gleich

behandelt, d.h. kurz als kategorial bezeichnet.

Kontingenztafeln (oder Kreuzklassifikationstabellen) sind ein Mittel, um

Beziehungen zwischen kategorialen Merkmalen zu analysieren. Die Kon-

figurationsfrequenzanalyse (KFA) nach G.A.Lienert (1969) hat sich hierbei

als universelle Analysemethode fuer Kontingenztafeln bewaehrt.

Kategoriale Merkmale (Symptome) sind z.B. Geschlecht (w,m), Beruf (Arzt,

Baecker,...) oder Bildung (ohne, Lehre, ...). Die einzelnen Werte eines

Merkmals heissen Auspraegungen. Ein Proband (Fall, Punkt, Patient) liefert

einen Datensatz. Alle N Probanden liefern die Daten (File, Datei).

Durch Auszaehlen einer Datei entsteht die Kontingenztafel, z.B.

Beruf \ Geschlecht | w | m | Randsummen

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Arzt | 17 | 12 | 29

Baecker | 0 | 9 | 9

... : .. : .. : ..

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Randsummen | 117 | 67 | 184 (N=184)

Die einzelen Haeufigkeit Nij (Frequenz) heisst Konfiguration oder Zelle.

Zellen werden durch die Indizes i,j,k,.. bezeichnet. So hat die Zelle

(Arzt,w) die Indizes (1,1) und die Frequenz N11=17. Kontingenztafeln

koennen dim=2,3, 4,... Dimensionen haben, d.h. aus der gemeinsamen Aus-

zaehlung von 2, 3, 4, ... Merkmalen entstehen. Das Beispiel ist 2-dimen-

sional (2 Merkmale: Beruf und Geschlecht)

Rohdaten und fertige Tafeln

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Kontingenztafeln koennen als fertige Tafeln (siehe Eingabe Kontingenz-

tafeln) gelesen werden oder aus gelesenen Daten ausgezaehlt werden.

2x2-Tafeln koennen ebenfalls aus Rohdaten ausgezaehlt werden oder als

Kontingenztafeln eingelesen werden, jedoch im Programmzweig SICFA 2x2-

Tafeln auch direkt ueber die Tastatur eingetippt werden.

Nur kategoriale Merkmale sind zur Auszaehlung geeignet. Man kann jedoch

metrische Merkmale in kategoriale umwandeln (z.B. Transformation in ein

dichotomes Merkmal). Die Kategorien eines Merkmals muessen als Nummern

1, 2, 3, ... ,98 kodiert sein. 99 ist der kategoriale Ausfaller-Code.

Einschraenkung der Tafelgroesse beim Test auf Typen: Die maximal 5 Merk-

male duerfen in der Reihenfolge ihrer Vorgabe nur folgende Kategorien-

zahlen erreichen: 10, 5, 3, 2, 2, d.h. die maximale 5-d-Tafel hat

600 Zellen.

Zweidimensionale Tafeln bis 10 x 5 werden auch als Matrix dargestellt.

Kann DASY auch durch Umsortieren der Merkmalsreihenfolge die obige

Bedingung nicht erfuellen, wird die Bearbeitung der Tafel mit einer

Warnung abgebrochen. Fuer die LANCASTER-Zerlegung duerfen nur 2^d-Tafeln

verwendet werden. Fuer die Merkmalsreduktion ist die Tafelgroesse be-

liebig.

Kollabierte Kontingenztafel: Die Auspraegungen jedes beteiligten Merkmals

werden auf 2 reduziert (Beispiel: Beruf (Arzt, Nichtarzt), Bildung( ohne,

mit) ). Die dann ausgezaehlte Tafel heisst kollabiert.

Reduzierte Kontingenztafel: Z.B. aus einer 3-dimensionalen Tafel wird

durch Weglassen eines Merkmals eine 2-dimensionale Tafel.

Was leistet Menuepunkt SICFA in DASY?

- Auszaehlen von Kontingenztafeln, Bildung der Randsummen

- 2-dimensionale Tafeln bis 10 x 5 werden als Matrix dargestellt.

- Globaler Chi-Quadrat-Test (Chi-Quadrat-Test) auf Unabhaengigkeit bzw.

Abhaengigkeit von kategorialen Merkmalen

- Typensuche nach G.A.Lienert mit verschiedenen Tests

- Typensuche nach Victor

- Chi-Quadrat-Zerlegung einer Kontingenztafel nach LANCASTER

- Merkmalsselektion durch stufenweise Reduktion einer n-dimensionalen

Tafel

- Analyse von 2x2-Tafeln (Zusammenhangsmasse bzw. Assoziationsmasse,

Typensuche nach dem Zero-Order-Modell von A.v.Eye,

Vergleich relativer Haeufigkeitszahlen)

ùKFA-Menue. (SICFA)

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Abbruch

Hilfe

TEST Globaler CHI-Quadrat-Test und lokale Tests auf Typ / Antityp

SIMULATION wie TEST, aber zusaetzlich Bootstrapsimulation von Tafeln

SELECT Merkmalsselektion - Suche der signifikantesten Tafeln

LANCASTER Chi-Quadrat-Zerlegung nach LANCASTER, Zusammenhangsstruktur

2x2-Tafeln Zusammenhangsmasse, Typensuche, Test relativer Haeufigkeiten

- - -

Hypothesen: Grundlage konfirmatorischer Statistik ist das Hypothesenpaar

Ho und Ha. Die Nullhypothese Ho unterstellt, dass alle Abweichungen zu-

faellig sind. Die Alternativhypothese Ha unterstellt eine Ursache fuer

auftretende Abweichungen.

Ho beim Globaltest: Die Merkmale sind unabhaengig - kein Zusammenhang.

Ha beim Globaltest: Die Merkmale sind abhaengig - es gibt einen Zusammen-

hang. Der Test erfolgt mit Chi-Quadrat und testet

einseitig auf Ueberschreitung des oberen Sicherheits-

punktes der Chi-Quadrat-Verteilung mit FG Freiheits-

graden.

Ho beim Einzeltest: Die Zelle ist kein Typ - Abweichungen vom Erwartungs-

wert unter der Unabhaengigkeitshypothese sind

zufaellig.

Ha beim Einzeltest: Die Zelle ist Typ oder Antityp - Abweichungen sind

ursaechlich und reproduzierbar vorhanden. Fuer den

Test gibt es mehrere Moeglichkeiten. DASY bietet 4

verschiedene Tests.Die Absicherung der multiplen

Hypothese erfolgt immer mit Holms Alpha-Adjustierung.

Alpha oder Fehler 1.Art: Irrtumswahrscheinlichkeit bei Ablehnung von Ho,

d.h. die Wahrscheinlichkeit Ha faelschlich anzunehmen. Ein typischer Wert

ist Alpha=0.05 (5%). Achtung! Bei einseitigem Test auf Typen wird das ge-

samte Alpha am rechten Sicherheitspunkt der Testverteilung realisiert,

beim Test auf Antitypen am linken Sicherheitspunkt. Beim zweiseitigen

Test wird jeweils Alpha/2 am linken und am rechten Sicherheitspunkt

realisiert.

Alpha' oder adjustiertes Alpha: Bei 100 Hypothesenpaaren (Ho,Ha) und Vor-

gabe Alpha=0.05 (5%) fuer die Einzelhypothese wuerde man etwa 5 (5%)

signifikante Ablehnungen von Ho erhalten auch in Faellen, in denen

garantiert alle Nullhypothesen gelten. Fazit: Man verschaerft die

Einzeltests so, dass das Auftreten auch nur einer faelschlichen Ablehnung

von Ho nur mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit Alpha stattfindet

(siehe Testprozedur).

Beta oder Fehler 2.Art: Irrtumswahrscheinlichkeit bei Annahme von Ho,

d.h. die Wahrscheinlichkeit Ha faelschlich abzulehnen. Ein typischer Wert

ist Beta=0.3 (30%). Das Beta wird durch Tests nicht kontrolliert. DASY

schaetzt das Beta. Diese Schaetzung beruht auf zwei Simulationsrechnungen:

- Schaetzung des maximalen Typgewichts Tg durch Vergleich der Tmax-Sta-

tistik der vorliegenden Tafel mit der Tmax-Statistik simulierter

Tafeln mit bekanntem Typgewicht. Das Typgewicht sagt, um wieviel

der Zellerwartungswert E sich durch die Eigenschaft "Typ" gegenueber

dem Erwartungswert Ev bei Unabhaengigkeit erhoeht. Vijk heisst auch

VICTOR-Erwartungswert. Es gilt Eijk=Vijk(1+Tg). Typgewicht Tg=1 ver-

doppelt demnach den Erwartungswert, Tg=2 verdreifacht ihn usw.

Die Tmax-Statistik: MAX (Nijk-Eijk)/mBl

MAX heisst Maximum von allen Zellen

Nijk Zellfrequenz der Zelle (ijk)

Eijk Unabhaengigkeitserwartungswert der Zelle

- Durch Simulation vieler Tafeln mit bekannten Typzellen mit dem

geschaetzten Typgewicht gewinnt man eine Schaetzung des Fehlers 2.Art

Beta, d.h. welcher Anteil an vorhandenen Typen wird nicht gefunden.

Beta=0.3 (30%) sagt, dass von 10 vorhandenen Typzellen nur 7 die

Chance haben, gefunden zu werden. Beta haengt vom Alpha ab, denn ein

zu kleines Alpha verhindert das Auffinden von Typen durch "zu scharfes

Selektieren". Umgekehrt, wenn man auch "falsche Typen" in Kauf nimmt

(grosses Alpha), findet man auch mehr richtige Typen.

Totale Unabhaengigkeit: Der Erwartungswert Eijk der Zelle (i,j,k) ist

Eijk = Pi Pj Pk. Pi ist die Wahrscheinlichkeit fuer die Auspraegung i des

ersten beteiligten Merkmals, Pj fuer Auspraegung j des zweiten Merkmals

usw. Merkmale sind abhaengig, wenn die beobachteten Frequenzen von den

erwarteten Frequenzen signifikant abweichen. Die Pi, Pj, Pk werden ge-

woehnlich aus den Randsummen geschaetzt (Beispiel Arzt: P1=29/184=0.158)

Globaler Chi-Quadrat-Test: Summation der Terme (Nijk-Eijk)^2/Eijk ergibt

Chi-Quadrat-ges. Der Wert Chi-Quadrat-gesamtges ist unter der Unab-

haengigkeitshypothese chiquadrat-verteilt mit FG=T-I-J-K+3-1 Freiheits-

graden. (FG-Formel fuer dim=3 Dimensionen der Tafel). Zellenzahl ist

T=I J K, wobei I,J,k die Anzahl der Auspraegungen der (hier) 3 Merkmale

sind. Sind Merkmale unabhaengig, erwartet man auch keine Typen.

Typ/Antityp nach G.A.Lienert: Ist die beobachtete Zellfrequenz Nijk

signifikant groesser, als der Erwartungswert Eijk, dann ligt ein

KontingenzTyp vor. Bei signifikanter Unterschreitung Nijk<Eijk sprechen

einige Autoren von einem Antityp. Die Definition und Existenz von Anti-

typen ist jedoch umstritten. Beruf-Geschlecht-Typen koennten z.B. sein

(Kosmetikerin weiblich) oder (Kraftfahrer maennlich). Moeglicher

Antityp: (Geruestbauerin weiblich)

Typen nach Victor: Ist die beobachtete Zellfrequenz Nijk signifikant

groesser, als ein speziell berechneter Erwartungswert Vijk (Victor-Er-

wartungswert), dann liegt ein Typ nach Victor vor. Das Vijk wird zwar

auch aus den Randsummen geschaetzt, aber vermindert um den Haeufigkeits-

ueberhang der Typzellen. Das "Zuviel" an Haeufigkeit bei einer Typzelle

soll nicht in die Berechnung des Erwartungswertes eingehen. Das Problem

ist nur iterativ zu loesen, da die Typzellen a priori nicht bekannt sind.

ùLokale-KFA-Tests und Testprozedur

Lokale TESTs bewerten durch eine Testgroesse (Teststatistik) den Abstand

Hijk-Eijk einer jeden Zelle. Z.B. berechnet der Chi-Quadrat-Komponenten-

test die Testgroessen X2ijk=(Hijk-Eijk)^2/Eijk fuer jede Zelle (i,j,k).

Der Freiheitsgrad der einzelnen Komponente ist (nach Perli u.a.) FG=1.

Ist der Abstand signifikant, liegt ein Typ (oder Antityp) vor.

Einseitiger Test: Man testet einseitig auf Typen, wenn Nijk>Eijk bzw.

Nijk>Vijk ist. Man testet einseitig auf Antitypen, wenn Nijk<Eijk bzw.

Nijk<Vijk ist. Die gesamte vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha

wird einseitig angenommen und verringert so die erforderliche Testgroesse,

die einen signifikanten Typ anzeigt. Moegliche Begruendung: Eine deutliche

Abweichung der Frequenz Nijk von ihrem Erwartungswert in die eine oder

andere Richtung ist im Bayes'schen Sinne eine Vorinformation, die die

Einschraenkung der Hypothesenzahl rechtfertigt.

Zweiseitiger Test: Man laesst fuer jede Zelle beide alternativen Hypo-

thesen (Typ oder Antityp) offen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird zu

gleichen Teilen auf Typ und Antityp verteilt. Die Signifikanzschwelle

liegt hoeher, als beim einseitigen Test. Der zweiseitige Test bedarf

keiner Begruendung.

Stetigkeitskorrektur: Kleine Zellwahrscheinlichkeiten (Eijk<5) fuehren

leicht auf antikonservative Ergebnisse. Man reduziert die Testgroesse ge-

zielt (was sich bei kleinen Frequenzen besonders auswirkt) und beugt so

Irrtuemern vor. Eine bekannte Stetigkeitskorrektur stammt von Kuechenhoff

und Perli. Sie verwendet im Zaehler der Testgroessenformel statt

(Nijk-Eijk) den Wert (Nijk-Eijk-0.5), wenn Nijk>Eijk ist, und

(Nijk-Eijk+0.5), wenn Nijk<Eijk ist. DASY kombiniert sie mit dem

Lehmachertest. Eine aehnliche Stetigkeitskorrektur zum Victortest stammt

von Dunkl und v.Eye.

Nach einer Studie von E.Lautsch und S.von Weber aus dem Jahre 2001 zeigt

jeder Test entweder antikonservatives (liefert zu viele Typen) oder kon-

servatives Verhalten (liefert zu wenig Typen). Eine fuer die vorliegende

Tafel zugeschnittene Korrekturkonstante K sorgt in DASY dafuer, dass

asymptotisch das vorgegebene Alpha eingehalten, aber auch ausgeschoepft

wird. Nur so kann auch das Beta minimiert werden.

Die TESTPROZEDUR beruecksichtigt, dass in einer Kontingenztafel viele Test

(einer zu jeder Zelle) durchgefuehrt werden. Je mehr Tests, desto groesser

wird die Wahrscheinlichkeit Fehlern zu unterliegen, indem zufaellige

Abweichungen als signifikant getestet werden. Die Testprozedur begegnet

dieser Gefahr mit einer gezielten Verringerung (Adjustierung) des fuer

den Einzeltest gueltigen Alphas. DASY verwendet immer Holms sequentielle

Prozedur.

Holms Prozedur: Zu allen Einzeltests werden die Testgroessen und die

daraus resultierenden kritischen Irrtumswahrscheinlichkeiten KIW

berechnet. Die KIW werden aufsteigend nach ihrer Groesse sortiert. Haben

wir h Hypothesen, dann wird das kleinste KIW mit Alpha'=Alpha/h ver-

glichen. Ist KIW<=Alpha', dann liegt fuer die entsprechende Zelle

Signifikanz vor und man testet das naechstgroessere KIW mit

Alpha'=Alpha/(h-1). Ist ein Test nicht signifikant (KIW>Alpha'), dann

bricht Holms Prozedur ab und dieser Test und alle noch ausstehenden

Tests sind nicht signifikant.

Bootstrap-Simulation: liefert die am haeufigsten auftretenden Signifi-

kanzmuster einer Tafel. Man waehlt wie unter Menuepunkt TEST einen der

angebotenen Teste (z.B. Combinatoric Search, Gradientenverfahren, Chi-

Quadrat-Komponententest, Perli). Die KFA wird durchgefuehrt, und an-

schliessend werden nach der Bootstrap-Methode aehnliche Tafeln mit dem-

selben Gesamt-N gezogen, nach dem gewaehlten Test ausgewertet und das

Signifikanzmuster der Tafel, z.B. "1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 " bei einer Tafel

mit 10 Zellen, bestimmt. Diese Signifikanzmuster werden gezaehlt und die

10 haeufigsten gelistet. Zu jeder Zelle wird zudem die Wahrscheinlich-

keit (1-beta) fuer das Auftreten eines Typen bzw. Antitypen berechnet.

Null-Haeufigkeiten in der Originaltafel werden bei der Bootstrap-Simu-

lation nicht als strukturelle Nullen nach N. VICTOR aufgefasst, sondern

als zufaellige Nullen einer multinomialen Binomialverteilung. Entsprech-

end koennen bei der Simulation hin und wieder Haeufigkeiten >0 in diesen

Zellen auftreten und das Gesamt-N leicht ueberschritten werden (maximal

um 10% des originalen Wertes).

Die geschaetzten (1-beta)-Werte der Bootstrapsimulation fuer das Auf-

treten eines Typen bzw. Antitypen duerfen nicht mit den Betawerten der

Korrekturkonstantenschaetzung verglichen werden. Bei der Bootstrap-

simulation werden Tafeln gezogen, die der Originaltafel sehr viel

aehnlicher sind, denn im Prinzip werden die vorhandenen Zellfrequenzen

nur stochastisch variiert. Bootstrap heisst, dass aus der Probandenmenge

Stichproben vom Umfang N gezogen werden, mit Zuruecklegen. Ein Proband

kenn mehmals gezogen werden oder auch nicht. Bei der Korrekturkonstant-

enschaetzung werden hingegen Tafeln generiert, die nur im Gesamt-N, in

der Tafeldimension und im Typgewicht mit der Originaltafel ueberein-

stimmen.

Die (1-beta)-Werte der Bootstrapsimulation geben die Wahrscheinlichkeit,

in einer Wiederholung derselben Untersuchung diesen Typen (Antitypen)

wieder zu finden. Die Beta-Werte der Korrekturkonstantenschaetzung geben

die Wahrscheinlichkeit insgesamt fuer die Tafel, vorhandene Typen bzw.

Antitypen entdecken zu koennen.

ùKFA-Teste-Menue

Abbruch Sie haben es sich anders ueberlegt

Hilfe Sie wollen sich zuerst etwas belesen

1-seitig Einseitiger Test nur auf Typen

2-seitig Zweiseitiger Test auf Typen und Antitypen

Test 1 Combinatoric Search nach Dunkl, Eye, Lautsch, Victor, Weber

Test 2 Gradientenverfahren nach Dunkl, Eye, Lautsch, Victor, Weber

Test 3 CHI-Quadrat-Komponententest nach G.A.Lienert

Test 4 Asymptotischer Test nach Perli, Hommel, Lehmacher

Alpha 5% Sie wollen mit Alpha=0.05 (5%) arbeiten

Alpha 1% Sie wollen mit Alpha=0.01 (1%) arbeiten (rechnet laenger)

O.K. Sie wollen die KFA starten

- - -

Der Ablauf der KFA mit Typensuche erfolgt in den folgenden Schritten:

- Angabe der beteiligten kategorialen Merkmale (2 bis maximal 5).

Das Merkmal FRQUNZ, das bei der Eingabe von fertigen Kontingenz-

tafeln erzeugt wird, zaehlt nicht zu den Merkmalen, die anzugeben

sind. DASY benutzt es automatisch, wenn es vorhanden ist.

- Die Kontingenztafel wird bereitgestellt.

- Der globale Chi-Quadrat-Test wird durchgefuehrt und bewertet.

- Das maximale Typgewicht Tg wird durch Simulation geschaetzt. Schaetz-

werte >6 werden auf 6 heruntergesetzt.

- Es wird mittels vorliegender Daten (v.Eye, Lautsch/ v.Weber 2004)

eine Empfehlung gegeben, welcher Test fuer die vorliegende Tafel

am besten geeignet erscheint.

- Der Anwender kann die Empfehlung akzeptieren oder aber einen Test

aus dem Menue waehlen. Ebenso kann er einseitig testen.

(Default ist zweiseitiger Typ-Antityp-Test).

- Mittels Simulation wird fuer das gewaehlte Alpha die Korrektur-

konstante K und das zu erwartende Beta geschaetzt. Bei dieser Simu-

lation wird der gewaehlte Test und die gewaehlte Testform (einseitig/

zweiseitig) verwendet. Es werden Tafeln verwendet, die von der

Groesse und vom Aufbau der zu testenden Tafel gleichen.

- Die lokalen Zelltests werden fuer das gewaehlte Alpha durchgefuehrt

. und mittels Holms Prozedur multipel gesichert.

ùSICFA-Dru: In der Tabelle der zellenweisen Typentests bedeutet:

ijklm Zellindizes

Eijk Unabhaengigkeits-Erwartungswerte aus den Randsummen berechnet.

Vijk VICTOR-Erwartungswerte bei der kombinatorischen Suche und

beim Gradientenverfahren. Sonst ist Eijk=Vijk gesetzt.

Ein Eijk bzw. Vijk kleiner 3 wird im Test auf 3 hochgesetzt

koTw Testwerte mit Stetigkeitskorrektur nach Lautsch und v. Weber

KIW Einseitige Irrtumswahrscheinlichkeiten zum Testwert koTw

A/AT Eine 1 bedeutet Typ, eine -1 Antityp, eine 0 weder/noch.

* bedeutet ein KIW um 0.05, ** um 0.01, *** um 0.001

- - -

Die in DASY implementierten ùTypentests (einseitig, zweiseitig) sind:

Cs Combinatoric search nach Dunkl, Eye, Lautsch, Victor, Weber

Gr Gradientenverfahren von Lautsch/Weber

Li Chi-Komponententest von G.A.Lienert

Pe Test von Perli, Hommel, Lehmacher

Bei allen Testen wird ein zu kleiner Erwartungswert im Nenner der Test-

formel auf 3 hochgesetzt, wenn er kleiner 3 ist. (Beim Perli-Test ist es

die geschaetzte Standardabweichung im Nenner der Testformel.)

Chi-Komponententest von G.A.Lienert (1969)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Testgroesse Xijk=(Nijk-Eijk)/sqrt(Eijk(1-K))

ist asymptotisch normal verteilt mit Freiheitsgrad FG=1,

K=Stetigkeitskorrektur nach Lautsch/v.Weber

Ein Eijk bzw. Eijk kleiner 3 wird im Nenner auf 3 hochgesetzt

Vereinfachter asymptotischer Test von Perli et al. (1985)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Perli (1985) sowie Perli, Hommel, Lehmacher (1987) entwickelten Tests,

die asymptotisch das vereinbarte Alpha einhalten. Sie nehmen fuer alle

Zellen (ijk) die Wahrscheinlichkeit Pijk=Pi Pj Pk bei allgemeiner

multinomialer Verteilung an.

Testgroesse Wijk=(Nijk-Eijk)/(Sijk(1-K)) ist asymptotisch normalver-

teilt. K=Stetigkeitskorrektur nach Lautsch/v.Weber. Man vergleicht

deshalb mit einem Sicherheitspunkt U der Normalverteilung zur Rest-

wahrscheinlichkeit Alpha'/2 (zweiseitiger Test) bzw. zu Alpha'

(einseitig). Ein Sijk kleiner 3 wird im Test auf 3 hochgesetzt.

Sijk=SQRT(N*Vo) ist die Standardabweichung aus dem Nenner

Fuer Dimension dim=2 ist die Varianz Vo=Pij (1 - Pij -Pi. -P.j)

Fuer dim=3 ist Vo=Pijk[1 + 2Pijk - (Pi..P.j. + Pi..P..k + P.j.P..k)]

dim=4 gibt Vo=Pijkl[1+3Pijkl-(Pi...P.j..P..k. + Pi...P.j..P...l +

P.j..P...k.P...l)]

Test Dunkl/v.Eye mit Victor-Erwartungswerten nach Lautsch/v.Weber

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Victor definiert Koinzidenztypen. Sie sind singulaer und entsprechen

einem Generalfaktor der Faktorenanalyse. Die Lienertschen Kontingenz-

typen dagegen muessen nicht singulaer sein, sind oft aber komplemen-

taer ( Beispiel: Dyslexie - Eulexie )

Victor moniert hauptsaechlich, dass typverdaechtige Zellen in die

Schaetzung der Zellwahrscheinlichkeiten Pijk voll eingehen, da doch

ein Haeufigkeitsueberhang zur Erwartung unter der Unabhaengigkeits-

hypothese besteht. Dieses vereinfachte Vorgehen ruft Phantomtypen

und Antitypen hervor, die real nicht existieren. Die gleiche Wirkung

haben strukturelle Nullen, d.h. Konfigurationen, die durch Negativ-

auslese in der Population bzw. bei der Datenerfassung entstehen.

Die Victorerwartungswerte Vijk werden in DASY durch das Gradienten-

verfahren nach Lautsch/vWeber und durch die Combinatoric Search

Procedure nach v.Eye, Lautsch, v.Weber geschaetzt. Im Gradientenver-

fahren mit Bayes'scher Uebergewichtung stark frequentierter Zellen

wird das Chi-Quadrat der "bereinigten" Frequenzen minimiert. In der

Combinatoric Search Procedure werden alle Typkombinationen mit einer

Chi-Quadratstatistik bewertet. Die am besten bewertete Typenkombina-

tion wird konfirmatorisch getestet. Auch hier werden im Sinne von

Bayes Korrekturterme angebracht, die das Erkennen von Antitypen ver-

bessern, und, wie im Gradientenverfahren, stark frequentierte Zellen

mit einem zus„tzlichen Typenbonus belegen.

Der verwendete Kleingruppentest nach Dunkl und v.Eye beinhaltet eine

Stetigkeitskorrektur, die bei kleinen Erwartungswerten Evijk be-

sonders wirksam ist.

Die Testgroesse Dijk=(Nijk-Vijk)/(Svijk(1-K)) mit dem Nenner

Svijk=((Vijk+0.5)*Vijk)/(Vijk-0.5)

ist asymptotisch normal verteilt. K ist die Stetigkeitskorrektur nach

Lautsch/v.Weber. Ein Vijk<3 in der Formel fuer Svijk wird auf 3

hochgesetzt.

Empfehlung welcher Test bei welcher Kontingenztafel optimal ist

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Nach einer Untersuchung von v.Eye, Lautsch und v.Weber (2004) werden

folgende Tests in dieser Reihenfolge empfohlen:

Cs = Combinatoric Search nach Dunkl, Eye, Lautsch, Victor, Weber

ist die absolute 1. Wahl. Die Combinatoric Search war bei allen

Tests mit unterschiedlichen Tafeltypen immer die Nummer 1.

Gr = Gradientenverfahren von Lautsch und v.Weber.

Falls die Rechenzeiten der Combinatoric Search zu lang werden,

ist das Gradientenverfahren die n„chstbeste Wahl (2. Wahl).

Die erreichbaren Beta-Werte sind jedoch um 10-20% schlechter,

als die der Combinatoric Search.

Li = Chi-Quadrat-Test nach Lienert

Pe = Asymptotischer Test nach Perli et al.

Den Chi-Quadrat-Test nach Lienert oder den Asymptotischen Test

nach Perli et al. empfehlen wir neben der Combinatoric Search

und neben dem Gradientenverfahren nur bei zweidimensionalen

Tafeln (d=2), groáen Freiheitsgraden (df>20) und kleinen

mittleren Zellbelegungen (mZb<15). Nur in diesem Fall sind die

Ergebnisse vergleichbar gut mit der Combinatoric Search bzw.

dem Gradientenverfahren.

Zur Umrechnung der 'normal verteilten' Testwerte in Irrtumswahrschein-

lichkeiten dient die folgende Tabelle, in der DASY interpoliert.

Fehlerintegral von Gauss PHI(u) - Integral von u bis oo

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

u PHI(u)

0.0- 0.4 0.5000000, 0.4601722, 0.4207402, 0.3820885, 0.3445783,

0.5- 0.9 0.3085375, 0.2742531, 0.2419636, 0.2118554, 0.1840601,

1.0- 1.4 0.1586552, 0.1356661, 0.1150697, 0.0968006, 0.0807567,

1.5- 1.9 0.0668073, 0.0547994, 0.0445655, 0.0359304, 0.0287166,

2.0- 2.4 0.0227502, 0.0178644, 0.0139035, 0.0107241, 0.0081975,

2.5- 2.9 0.0062097, 0.0046612, 0.0034670, 0.0025551, 0.0018658,

3.0- 3.4 0.0013499, 0.0009676, 0.0006871, 0.0004834, 0.0003369,

3.5- 3.9 0.0002326, 0.0001591, 0.0001078, 0.0000723, 0.0000481,

4.0- 4.4 3.168E-05, 2.066E-05, 1.335E-05, 8.542E-06, 5.414E-06,

4.5- 4.9 3.398E-06, 2.113E-06, 1.301E-06, 7.935E-07, 4.793E-07,

5.0- 5.4 2.867E-07, 1.699E-07, 9.967E-08, 5.792E-08, 3.333E-08,

5.5- 5.9 1.899E-08, 1.072E-08, 5.992E-09, 3.317E-09, 1.818E-09,

6.0- 6.4 9.869E-10, 5.305E-10, 2.824E-10, 1.489E-10, 7.771E-11,

6.5- 6.9 4.017E-11, 2.056E-11, 1.042E-11, 5.233E-12, 2.601E-12,

7.0- 7.4 1.280E-12, 6.240E-13, 3.012E-13, 1.439E-13, 6.812E-14,

7.5- 7.9 3.192E-14, 1.481E-14, 6.806E-15, 3.097E-15, 1.395E-15,

8.0- 8.4 6.223E-16, 2.749E-16, 1.202E-16, 5.208E-17, 2.233E-17,

8.5- 8.9 9.484E-18, 3.988E-18, 1.660E-18, 6.844E-19, 2.794E-19,

9.0- 9.4 1.129E-19, 4.518E-20, 1.790E-20, 7.023E-21, 2.727E-21,

9.5- 9.9 1.049E-21, 3.997E-22, 1.507E-22, 5.629E-23, 2.081E-23,

10.0-10.4 7.620E-24, 2.762E-24, 9.914E-25, 3.523E-25, 1.239E-25,

10.5-10.9 4.319E-26, 1.490E-26, 5.089E-27, 1.721E-27, 5.763E-28,

11.0-11.4 1.910E-28, 6.272E-29, 2.038E-29, 6.561E-30, 2.090E-30,

11.5-11.9 6.596E-31, 2.060E-31, 6.373E-32, 1.951E-32, 5.918E-33,

12.0-12.4 1.776E-33, 5.281E-34, 1.554E-34, 4.529E-35, 1.306E-35,

12.5-12.9 3.733E-36, 1.055E-36, 2.956E-37, 8.198E-38, 2.250E-38,

13.0 6.117E-39

Diese Tabelle ist die Grundlage fuer die Interpolation der u-Werte bei

vorgegebener Wahrscheinlichkeit P (bzw. Alpha) in DASY. Die Bewertung

fast aller Teste erfolgt ueber die Tafel PHI(u).

Beispielprotokolle

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

Die beruehmten LSD-Daten von G.A.Lienert aus dem Jahre 1970 zeigen das

psychotoxische Syndrom, das Leuner 1962 beschrieben hat. 65 Studenten

nahmen freiwillig Lysergsaeurediethylamid (LSD) ein und unterzogen sich,

soweit noch faehig, verschiedenen Tests. Das Leuner'sche Syndrom ist

eine Kombination aus

M01 = Bewusstseinseinschraenkung (clouded consciouness)

M02 = Denkstoerung (disturbed thinking)

M03 = Affektivitaetsbeeinflussung (altered affectivity)

Die Typensuche mit der Combinatoric Search:

DASY-Protokoll DASY FH Furtwangen

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ 03.12.04 10:13:39

Datenfile D:\L\DASY\LSD-DATA.DAT

TABLE 3 2 2 2 Lienerts LSD-Daten von 1970

mit 8 Datenzeilen und 4 Spalten gelesen

Typensuche in Kontingenztafel mit den Merkmalen:

1 M01 Kategorie mit 2 Kategorien

2 M02 Kategorie mit 2 Kategorien

3 M03 Kategorie mit 2 Kategorien

und FRQUNZ Zellfrequenz Kontingenzt

65 Probanden, 8 Zellen, mBl= 8.13 mittlere Belegung

37.92 Chi-Quadrat-Gesamt mit FG=4

6.346E-06 (***) einseitige Irrtumswahrscheinlichkeit

6.00 geschaetztes maximales Typgewicht

Test: Combinatoric Search (Weber et al.) Zweiseitig

Geschaetzter Korrekturwert= -1.11

Geschaetztes Beta = 34.03 %

Sie arbeiten mit Alpha = 0.05

Nr. i j k l m Nijk Eijk Vijk koTw KIW T/AT Signif

001 1 1 1 . . 20 12.51 0.69 4.47 0.00000 1 ***

002 1 1 2 . . 1 6.85 2.12 -0.26 0.39743 0

003 1 2 1 . . 4 11.40 3.65 0.08 0.47006 0

004 1 2 2 . . 12 6.24 11.24 0.10 0.45887 0

005 2 1 1 . . 3 9.46 2.92 0.02 0.49232 0

006 2 1 2 . . 10 5.18 8.97 0.15 0.43883 0

007 2 2 1 . . 15 8.63 15.44 -0.05 0.47935 0

008 2 2 2 . . 0 4.73 47.51 -3.24 0.00060 -1 ***

Die Combinatoric Search findet den Typen (1,1,1) und den Antitypen

(2,2,2). Ueberraschend gross ist der Victorerwartungswert Vijk=47.51

zum Antitypen (2,2,2) und der kleine Wert Vijk=0.69 zum Typen (1,1,1).

Die Summe der Vijk muss nicht die Probandenzahl N=65 ergeben, wie wir

von der Summe der Eijk gewohnt sind.

Die 6 Zellen 002-007 definieren ein mittleres LSD-Wirkungsniveau. Man

sieht, dass die Victorerwartungswerte sehr genau den gefundenen Fre-

quenzen Nijk entsprechen.

Zelle 001 ist ein Ausreisser in dem Sinne, dass sich die Wirkungen

der Droge bei diesem Probandentyp extrem verstaerken, so dass keine

normale Reaktion mehr erkennbar ist. Zelle 008 ist ein Ausreisser in

dem Sinne, dass eigentlich viel mehr Probanden mit voellig unbeein-

flussten Reaktionen erwartet werden. Die beiden Ausreisser zeigen, dass

die LSD-Wirkung keinem log-linearem Modell folgt.

Da bei beobachteten Daten die wahre Typenstruktur nie mit Sicherheit

zu beweisen ist, wurde ein Beispiel mit 2 bekannten Typen konstruiert.

Die 3 Merkmale haben die Randwahrscheinlichkeiten M01=(0.4, 0.6),

M02=(0.7, 0.3), M03=(0.45, 0.55). Die Erwartungswerte unter Unabhaengig-

keit sind dann (5.04, 7.56, 2.16, 3.24, 6.16, 9.24, 2.64, 3.96), z.B.

ergibt sich der erste Erwartungswert E111= (0.4 * 0.7 * 0.45)*40 = 5.04.

Probandenzahl ohne Typenaufstockung ist N=40.

Gesetzter Typ (1,1,2) mit Typgewicht 2 erh”eht 7.56 auf 7.56(1+2)=22.68.

Gesetzter Typ (1,2,1) mit Typgewicht 6 erh”eht 2.16 auf 2.16(1+6)=15.12.

Die Probandenzahl erhoeht sich dadurch auf N=68.

Datenfile D:\L\DASY\VICTEST.DAT

TABLE VICTOR-Test, 2 Typen, ohne Varianz

mit 8 Datenzeilen und 4 Spalten gelesen

Typensuche in Kontingenztafel mit den Merkmalen:

1 M01 Kategorie mit 2 Kategorien

2 M02 Kategorie mit 2 Kategorien

3 M03 Kategorie mit 2 Kategorien

und FRQUNZ Zellfrequenz Kontingenzt

68 Probanden, 8 Zellen, mBl= 8.51 mittlere Belegung

20.01 Chi-Quadrat-Gesamt mit FG=4

7.773E-04 (***) einseitige Irrtumswahrscheinlichkeit

6.00 geschaetztes maximales Typgewicht

Test: Combinatoric Search (Weber et al.) Zweiseitig

Geschaetzter Korrekturwert= -1.48

Geschaetztes Beta = 39.76 %

Sie arbeiten mit Alpha = 0.05

Nr. i j k l m Nijk Eijk Vijk koTw KIW T/AT Signif

001 1 1 1 . . 5 12.42 5.04 0.00 0.50001 0

002 1 1 2 . . 23 16.77 7.56 2.07 0.01903 0 *

003 1 2 1 . . 15 7.19 2.16 2.55 0.00541 1 **

004 1 2 2 . . 3 9.71 3.24 0.00 0.50001 0

005 2 1 1 . . 6 5.93 6.16 -0.00 0.50002 0

006 2 1 2 . . 9 8.01 9.24 0.00 0.50001 0

007 2 2 1 . . 3 3.43 2.64 -0.00 0.50001 0

008 2 2 2 . . 4 4.63 3.96 -0.00 0.50002 0

Test: Gradientenverfahren (Lautsch/Weber) Zweiseitig

Geschaetzter Korrekturwert= -0.13

Geschaetztes Beta = 45.52 %

Sie arbeiten mit Alpha = 0.05

Nr. i j k l m Nijk Eijk Vijk koTw KIW T/AT Signif

001 1 1 1 . . 5 12.42 6.86 -0.57 0.28396 0

002 1 1 2 . . 23 16.77 10.49 3.17 0.00075 1 ***

003 1 2 1 . . 15 7.19 2.89 5.23 0.00000 1 ***

004 1 2 2 . . 3 9.71 4.43 -0.45 0.32795 0