Stefan von Weber, Fachhochschule Furtwangen, Alexander von Eye, Michigan State University, Erwin Lautsch, Universität Kassel

The results of a simulation study on the performance of measures for the analysis of 2 x 2 tables are reported. The simulations included 11 measures for 2 x 2 tables: Pearson’s χ, the standard normal z, the log-odds ratio, the log-linear interaction, Goodman’s (1991) weighted log-linear interaction, Vogel’s z, the binomial test, Lehmacher’s (1981) asymptotic hypergeometric test, Perli, Hommel, and Lehmacher’s (1985) asymptotic test, Lindner’s (1984) exact hypergeometric test, and Lausch and von Weber’s (2002) adaptation of Dunkl and von Eye’s (1990) test. The factors varied in the simulations were (1) type of sampling distribution, (2) sample size, (3) strength of association in the 2 x 2 table, (4) the symmetry of the distribution in the 2 x 2 table, and (5) the nominal α. Results suggest that the distribution of these 11 tests is very near the normal under all conditions. Of the five factors, only the type of the sampling distribution has no strong effects on the β-curves of the 11 measures. Finally, it was found that the 11 measures respond differently to the five factors such that the rank order of performance varies with the simulated conditions.

Stefan von Weber, Erwin Lautsch, Alexander von Eye

Zusammenfassung

Für sechs verschiedene KFA-Tests werden neue Stetigkeitskorrekturen vorgestellt. Die Korrektur ist eine Konstante für eine Tafel. Sie hängt von den Eigenschaften der Tafel (Freiheitsgrade, Dimension, mittlere Zellbelegung, Typgewicht) und vom vorgegebenen Fehler 1. Art ab. Das Typgewicht ist eine quantitative Bewertung von Typen. Simulationsrechnungen zeigen, dass drei Tests (der Test von Perli et al., die Neue Prozedur von Lautsch/v.Weber, der c²-Komponententest von Lienert) 90% der besten Lösungen abdecken.

Schlüsselwörter: Kontingenztafel, Konfigurationsfrequenzanalyse, KFA, Typensuche, Test, Testprozedur, Simulation, Stetigkeitskorrektur

Abstract

This article presents new continuity corrections for six tests in Configural Frequency Analysis (CFA). For each table, the correction is a constant. The magnitude of this constant depends on characteristics of the table such as degrees of freedom, size, cell frequency, strength of type, and on the nominal level α. Strength of type is a quantitative descriptor of types. Simulation results suggest that, three tests, specifically the test proposed by Perli et al., the new test proposed by Lautsch and von Weber, and the χ²-component test, cover over 90% of the best solutions.

Key words: contingency table, configural frequency analysis, CFA, search for types, statistical test, simulation, continuity correction

References

[ ] Lienert, G.A. (1969): "Die Konfigurationsfrequenzanalyse als Klassifikationsmittel in der klinischen Psychologie, In: Irle, M. (Hrsg.): Bericht über den 26. Kongreß der Deutschen Gesellschaft für Psychologie 1968 in Tübingen, Göttingen 1969

[ ] Krauth, J., Lienert, G.A. (1973): Die Konfigurationsfrequenzanalyse (KFA), Freiburg 1973

[ ] Holm, S. (1979): A simple sequentially rejective multiple test procedure, Scandinavian Journal of Statistics 6, 65-70

[ ] Lehmacher (1981): A more powerful simultaneous test procedure in configural frequency analysis, Biometrical Journal, 23, 429 - 436.

[ ] Herrendörfer u.a. (1982): Robustheit von Tests für 2x2-Kontingenztafeln, Probleme der angewandten Statistik, Heft 7, Forschungszentrum für Tierproduktion Dummerstorf-Rostock

[ ] Diaconis und Efron (1983): Statistik per Computer: Der Münchhausen-Trick. Spektrum der Wissenschaft, Heft 7

[ ] Lindner (1984): Eine exakte Auswertungsmethode zur Konfigurationsfrequenzanalyse. Psychologische Beiträge, 26, 393 - 415.

[ ] Perli (1985): Testverfahren in der Konfigurationsfrequenzanalyse. Erlangen: Palm und Enke.

Perli, H.-G., Hommel, G., Lehmacher, W. (1985): Sequentially rejective test procedures for detecting outlying cells in one- and two-sample multinomial experiments, Biometrical Journal 27, 885-893

[ ] Küchenhoff, H. (1986): A note on a continuity correction for testing in three-dimensional configural frequency analysis, Biometrical Journal 28, 465-468

[ ] v.Eye und Rovine (1988) A comparison of significance tests for configural frequencies analysis, EDV in der Medizin, 19, (1) 6-13

[ ] Victor, N. (1989): An alternative approach to configural frequenc analysis, Methodika 3, 61-73

[ ] Dunkl, E., von Eye, A. (1990): Kleingruppentests gegen Victor-Typen und –Syndrome, Zeitschrift für Klinische Psychologie, Psychopathologie und Psychotherapie 44, 46 - 51.

[ ] Lautsch und von Weber (1990): Die Konfigurationsfrequenzanalyse - Methoden und Anwendungen, Volk und Wissen, Berlin

[ ] Kieser, M., Victor, N. (1991): A test procedure for an alternative approach to configural frequency analysis, Methodika 5, 87-97

[ ] Kareev (1992): Generation of random sequences. J.of Experimental Psychology. Human Perception and Performance, 18, 1189-1194

[ ] Krauth (1993): Einführung in die Konfigurationsfrequenzanalyse, Beltz-Verlag, Weinheim

[ ] Lautsch und von Weber (1995): Methoden und Anwendungen der Konfigurationsfrequenzanalyse, Beltz-Verlag, Weinheim

[ ] Kieser, M., Victor, N. (1999): Configural Frequency Analysis (CFA) Revisited – a New Look at an Old Approach, Biometrical Journal 41, 967-983

[ ] von Weber, S. (2000): Ein Vergleich in der KFA verwendeter Tests mittels Simulationsrechnungen, Psychologische Beiträge, Bd. 42, Heft 3, 260-272

[ ] Lautsch, E., von Weber, S. (2002): Eine neue Testprozedur in der KFA, im Druck

von Eye, A. (2003a). A comparison of tests used in 2 x 2 tables and in two-sample CFA. Psychology Research (in press)

von Eye, A. (2003b). A comparison of residual measures under Configural Frequency Analysis conditions. In Perera, R., González, A., & Anaya, K.A. (Eds.), Memorias del XVII Foro Nacional de Estadística (in press)

von Eye, A., & Mun, E.-Y. (2003). Characteristics of measures for 2 x 2 tables (in preparation)

von Eye, A. (2002a). The odds favor antitypes - A comparison of tests for the identification of configural types and antitypes. Methods of Psychological Research - online, 7, 1-29.

von Eye, A. (2002b). Configural Frequency Analysis - Methods, Models, and Applications. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Indurkhya, A., & von Eye, A. (2000). The power of tests in Configural Frequency Analysis. Psychologische Beiträge, 42, 301 - 308.

von Eye, A., Schuster, C., & Gutiérrez-PeZa, E. (2000). Configural Frequency Analysis under retrospective and prospective sampling schemes - frequentist and Bayesian approaches. Psychologische Beiträge, 42, 428 - 447.

Stefan von Weber, FH Furtwangen

Das Ziel des Autors bei seinen Untersuchungen war die Herausgabe einer Empfehlung für den Praktiker, welcher Test und welche Testprozedur für seine Daten die sichersten Ergebnisse liefert. Es wurden Kontingenztafeln der Dimension (Merkmalszahl) d=2, 3 und 4 simuliert. Verwendete Testprozeduren waren Holms Prozedur und die zweistufige Suche. Alle Tests wurden einseitig mit H_o:kein Typ oder Antityp und H_A: Typ durchgeführt. Die in diesem Papier untersuchten 5 Tests waren: Der X-Komponententest von G.A.Lienert, der Binomialtest von Krauth, der hypergeometrische Residualtest von Lehmacher mit Stetigkeitskorrektur nach Küchenhoff, derr asymptotische Test nach Perli, Hommel und Lehmacher, der Test nach Victor, Dunkl und v.Eye. Neu dürfte die Einbeziehung von Kombinationstesten nach einer Idee von Erwin Lautsch sein Die Resultattabellen liefern a und b in Abhängigkeit von der Zellenzahl und mittleren Zellenbelegung der Tafel, des vorgegebenen a und dem Gewicht der Kontingenztypen.

Prof. Dr.rer.nat. Dr.sc.techn. Stefan von Weber

Fachhochschule Furtwangen

Vergleich von 5 Tests und 2 Testprozeduren, die in der KFA zur Typensuche verwendet werden, durch Simulationsrechnungen. Die Vergleichsgrundlage ist das beobachtete a und b (Fehler 1. und 2. Art). Variiert wird das vorgegebene a, die Zellenzahl, die mittlere Zellfrequenz der Kontingenztafeln sowie das Gewicht der Typen im Verhältnis zur mittleren Zellfrequenz. Als Ergebnis der Studie gibt der Autor Empfehlungen, welchen Test man am günstigsten im Falle einer konkret vorliegenden Tafel verwendet. Neu sind Kombinationsteste nach E.Lautsch.

Schlüsselwörter: Kontingenztafel, Konfigurationsfrequenzanalyse, KFA, Typensuche, Test, Testprozedur, Simulation, Kombinationstest

Comparision (by simulation) of 5 tests and 2 test procedures used in the CFA to explore and confirm types. The comparision is based on the observed a and b ( error type 1 and type 2). In the simulation was varied the demanded a, the number of cells, the mean cell frequency of the contingency table and the ratio of weight of the type to mean cell frequency. As a result of this study the author gives recommendations which test one uses best for a given table. Combined tests proposed by E.Lautsch are new.

Key words: contingency table, configural frequencies analysis, CFA, type exploration, test, test procedure, simulation, combined tests

In der Praxis der Konfigurationsfrequenzanalyse (KFA) hat sich eine Reihe von Tests und Testprozeduren durchgesetzt, für die bereits in der Vergangenheit Untersuchungen und Vergleiche vorgennommen worden sind, z.B. von Lehmacher (1981) zu Testprozeduren, Herrendörfer u.a (1982) für 2x2-Tafeln, Disconis und Efron (1983) für Zufallsstichproben, Lindner (1984) für exakte Tests, Perli (1985) zu Testprozeduren, Küchenhoff (1986) zur Stetigkeit, v.Eye und Rovine (1988) für Signifikanztests der KFA, Kareev (1992) zu Zufallsstichproben, Krauth (1993) zur Testauswahl, Lautsch/von Weber (1995) für Stichprobenteilung und Zufallsstichproben.

Das Ziel des Autors bei seinen Untersuchungen war die Herausgabe einer Empfehlung für den Praktiker, welcher Test und welche Testprozedur für seine Daten die besten Ergebnisse liefert. Ein Vergleich von Testergebnissen realer Datensätze aus klinischen oder soziologischen Untersuchungen mag dabei hilfreich sein, läßt aber immer viel Spielraum für Interpretation. Der Autor benutzte aus diesem Grund ausschließlich generierte Daten (Kontingenztafeln), deren Eigenschaften definiert und reproduzierbar sind.

Es wurden Kontingenztafeln der zufällig gewählten Dimension (Merkmalszahl) d=2, d=3 und d=4 erzeugt. Die vier Dimensionen wurden vom Autor mit Zeilen, Spalten, Blocks und Seiten bezeichnet. Die Zeilenzahl I, die Spaltenzahl J, die Blockzahl K (bei d=3 oder d=4) und die Seitenzahl L (bei d=4) wurden zufällig aus dem Intervall [2,5] gewählt. Dabei wurden jedoch Tafeln verworfen, deren Zellenzahl ZZ nicht in einem gewünschten Intervall, z.B. [8,12], lag. Untersuchte Intervalle für ZZ waren [8,12], [25,35], [80,100].

Im nächsten Schritt der Tafelgenerierung wurden die p-Werte der Randverteilungen zufällig generiert. Die Bedingungen für eine einzelne Randwahrscheinlichkeit war p_i >0, insgesamt Sp_i=1. Aus den Randwahrscheinlichkeiten wurden anschließend die Zellwahrscheinlichkeiten p_ijkl = p_ip_j p_kp_l berechnet.. Bis hierhin folgen die Daten genau der Unabhängigkeitshypothese.

Im nächsten Schritt wurde eine Typenzahl Nt festgelegt. Diese Zahl wurde durch die zwei Bedingungen 1£Nt£FG und 1£Nt£Minimum(I,J,K,L)-1 nach oben beschränkt. Freiheitsgrad FG der Tafel ist die Maximalzahl unabhängiger Hypothesen einer Kontingenztafel dieses Typs (siehe z.B. Perli 1985). Die zweite Bedingung sichert beim Victor-Test, dass nicht eine Randsumme Null wird. Die Nt Typzellen wurden zufällig ausgesucht, jedoch unter der Nebenbedingung, dass in einer Zeile (einer Spalte, einem Block, einer Seite) nicht mehr als eine Typzelle angesiedelt werden durfte. Auch diese Einschränkung war durch den Victor-Test bedingt. Zu jeder Typzelle wurde nun ein Vielfaches TG(1/ZZ) der mittleren Zellwahrscheinlichkeit 1/ZZ addiert, wobei nur die drei Multiplikatoren TG=1, TG=2 oder TG=3 benutzt wurden. Unter TG wird das Typgewicht verstanden, d.h. wie hoch ist die zusätzliche Wahrscheinlichkeit einer Typzelle verglichen mit der mittleren Zellwahrscheinlichkeit 1/ZZ. Dieses Vorgehen beruht auf der Definition des Kontingenztypen nach Lienert: Ein Kontingenztyp ist überfrequentiert im Vergleich zum Erwartungswert unter der Unabhängigkeitshypothese. TG=1 bedeutet damit eine doppelt so hohen Erwartungswert für diese Zelle (diese Ausprägungskombination) im Vergleich mit dem Erwartungswert unter der Hypothese der Unabhängigkeit der Merkmale.

Durch eine proportionale Korrektur aller p_ijk wurde anschließend gesichert, dass die Bedingung S p_ijk =1 wieder zutraf. Wird z.B. einer Tafel nur ein Kontingenztyp (NT=1) zugeordnet, und hat die ausgewählte Typzelle z.B. die aus den Randwahrscheinlichkeiten berechnete Wahrscheinlichkeit p_ijk=0,055, dann erhöht sich bei Typgewicht TG=1 und einer Zellenzahl ZZ=8 die Wahrscheinlichkeit der Zelle mit aufgesetztem Kontingenztyp auf p*_ijk=0,055+1/8=0,18. Die Summe Sp_ijk aller Zellwahrscheinlichkeiten steigt damit auf 1+1/8=1,125. Die proportionale Reduktion dividiert bei diesem Beispiel deshalb jede Zellwahrscheinlichkeit durch den Wert 1,125. Die Typzelle hat nach der Reduktion die Wahrscheinlichkeit p**_ijk=0,18/1,125=0,16 und die Summe Sp_ijk hat wieder den erforderlichen Wert 1.

Im letzten Schritt der Tafelgenerierung wurde jede Zellwahrscheinlichkeit mit einem Richtwert N=ZZ·mBl multipliziert. Dabei ist mBl die angestrebte mittlere Zellenbelegung. Benutzte Werte von mBl waren mBl=5 (schwach besetzt), mBl=15 (mittelstark besetzt) und mBl=50 (stark besetzt). Zu den so erhaltenen Zellerwartungswerten e_ijkl wurden mit m=0 und s = normalverteilte "Ziehungsfehler" addiert, die so erhaltenen Werte z_ijkl auf ganze Zahlen n_ijkl gerundet und bei n_ijkl <0 auf n_ijkl =0 gesetzt. Ziehungsfehler der Standardabweichung s = ergeben sich nach der Theorie (z.B. nach Bernoulli) asymptotisch, d.h. für e_ijk®¥ oder als mittlerer Fehler bei einer großen Zahl n®¥ von Ziehungen mit kleinem e_ijk. Dieser Ziehungsfehler ist die Hauptfehlerquelle bei schwach besetzten Kontingenztafeln und verhindert das sichere Auffinden schwacher Kontingenztypen.

Alle lokalen Zelltests wurden einseitig mit der Nullhypothese H_o: die Zelle ist kein Typ und der Alternativhypothese H_A: Die Zelle ist ein Typ durchgeführt. Antitypen (unterfrequentierte Zellen) fielen unter die Nullhypothese. Bei Holms multipler Prozedur wurde in Anlehnung an Perli (1985) das a zum größten Testwert nicht mit 1/ZZ adjustiert, sondern mit 1/FG. Werden die Randwahrscheinlichkeiten aus den beobachteten Zellfrequenzen geschätzt, dann gibt der Freiheitsgrad FG die Anzahl unabhängiger Zellhypothesen an. So hat z.B. eine 2x2-Tafel nur einen Freiheitsgrad und es ist auch nur eine unabhängige Zellhypothese möglich.

Die zweistufige Suche oder (hybride Testprozedur) besteht aus den zwei Teilschritten:

• Teile die Stichprobe zufällig (mit p=0.5 für jeden Probanden) in zwei Teilstichproben. Führe an der ersten Teilstichprobe die entsprechenden lokalen Tests ohne multiple Testprozedur durch und erzeuge so auf rein explorative Weise eine Hypothesenvorauswahl.

• Führe mit der eingeschränkten Hypothesenmenge der Hypothesenvorauswahl eine konfirmatorische KFA an der zweiten Teilstichprobe durch. Hier wurde generell Holms Testprozedur verwendet, wobei das a zum größten Testwert nunmehr mit 1/NH adjustiert wurde. NH ist die Zahl der Hypothesen in der eingeschränkten Hypothesenmenge der Vorauswahl.

Die in diesem Papier untersuchten 5 Tests waren:

Der X-Komponententest von G.A.Lienert (kurz Li) z.B. für d=3

Der Binomialtest von Krauth ( kurz Kr) z.B. für d=3

·

Der hypergeometrische Residualtest von Lehmacher und Krauth mit einer Stetigkeitskorrektur nach Küchenhoff (kurz LK) z.B. für d=3

mit

und p*_ijk = (N_i.. -1) (N_.j. -1) (N_..k -1) / (N-1) ³ .

·

Die Stetigkeitskorrektur von Küchenhoff besagt, dass wenn n_ijk > e_ijk +0.5 ist, dass dann im Zähler n_ijk - e_ijk -0.5 einzusetzen ist.

Der asymptotische Test nach Perli, Hommel und Lehmacher (kurz Pe) z.B. für d=3

mit s²= p_ijk(1+2p_ijk-(p_i..p_.j. + p_i.. p_..k + p_.j. p_..k))

(Das s² hat nur bei vereinfachter Voraussetzung diese einfache Gestalt)

Der Test nach Victor, Dunkl und v.Eye ( kurz Vi) z.B. für d=3

mit .

Der Victor-Erwartungswert e*_ijk wird nach dem Deming-Stephan-Algorithmus berechnet.

Erwin Lautsch schlug auf einer Arbeitssitzung 1996 in Schwenningen Kombinationsteste der Art vor, dass man die Ergebnisse zweier oder mehrerer Teste der obigen Auswahl logisch miteinander verknüpft. Diese Idee wurde vom Autor aufgegriffen, und es wurden etwa 150 mögliche logische Kombinationen mitberechnet. Als relevant für bestimmte Tafelgrößen und Tafelbelegungen erwiesen sich die Kombinationen LiÚKr, LiÚLK sowie PeÚVi. Dabei bedeutet das Zeichen "Ú" das inklusive Oder. Ist ein Typ z.B. nach Lienert signifikant oder nach Krauth signifikant oder nach beiden, dann ist er auch nach dem Kombinationstest LiÚKr signifikant. Die Idee, die hinter diesen Kombinationstesten steckt, ist der mögliche Ausgleich im Testverhalten. So kann eine Kombination des konservativen X-Komponententests von Lienert mit dem in manchen Situationen leicht antikonservativen Binomialtest von Krauth durchaus eine Verbesserung des Testverhaltens bedeuten.

Hinter jedem a-b-Zahlenpaar der Resultate steht eine Simulation von mehreren Tausend Kontingenztafeln. Als Zufallszahlgenerator fungierte die Funktion RANDOM von Borland Turbo Pascal 6.0. Jede Simulation wurde mit anderen Zufallszahlen gestartet, indem eine willkürlich festgelegte Anzahl von Dummy-Aufrufen der Funktion RANDOM erfolgte. Diese Anzahl lag zwischen 1 und 999. Das Verfahren der Dummy-Aufrufe hat gegenüber dem RANDOMIZE, das Turbo Pascal anbietet, den Vorteil der Reproduzierbarkeit. Die Fehler 1. und 2. Art, a und b, sind Schätzungen aus den ermittelten Gesamthäufigkeiten über alle simulierten Tafeln einer Parameterkombination. a und b werden hier in Prozent angegeben. a ist die Wahrscheinlichkeit, einer Nichttypzelle fälschlich einen Typen zuzuordnen. Übliche Vorgaben für a sind 0,1% bis 5%. b ist die Wahrscheinlichkeit, einen vorhandenen Typen (auf einer Zelle) nicht zu identifizieren. Übliche Vorgaben für b sind 10%-30%. Über alle Zellen aller Tafeln einer Simulationsrechnung summiert, gilt:

100%

100%

Wählen wir als Beispiel eine einzige 2x3-Tafel mit 2 Freiheitsgraden. Zelle (1,1) sei ein Typ, alle anderen Zellen seien keine Typen. Die gewählte Tafel läßt wegen FG=2 zwei unabhängige Hypothesen zu. Bei der Auswertung können die 4 Fälle mit den nach obigen Formeln berechneten a- und b-Werten auftreten:

Die Typzelle wurde richtig identifiziert: a=(0/(2-1))100%=0%, b= (0/1)100%=0%

Keine Zelle wurde als Typ identifiziert: a=(0/(2-1))100%=0%, b=(1/1)100%=100%

Z.B. Zelle (1,2) fälschlich als Typ identifiziert: a=(1/(2-1))100%=100%, b=(1/1)100%=100%

Zelle(1,1) richtig, Zelle (1,2) falsch identifiziert: a=(1/(2-1))100%=100%, b=(0/1)100%=0%.

Als veränderliche Größen (Parameter) der Simulation wurden Größen gewählt, die der Praktiker leicht angeben bzw. leicht beurteilen kann. ZZ ist die Zellenzahl der Kontingenztafel, mBl die mittlere Zellbelegung. Ist N die Gesamtprobandenzahl, dann ist mBl=N/ZZ. Das zum Testen vorgegebene a wird mit a^V bezeichnet. TG ist das vorgegebene Typgewicht. Mit Li, Kr, LK, Pe und Vi werden die Teste bezeichnet, wenn alleinig die modifizierte Holms-Prozedur verwendet wurde. Mit Li* z.B. wird der Test Li (X-Komponententest nach Lienert) in der zweistufigen Testprozedur bezeichnet, entsprechend Kr*, LK*, Pe*, Vi*. Ein fettgedrucktes b, z.B. 93,0, ist das niedrigste b einer Parameterkombination bei Einhaltung des vorgegebenen Alpha (in der Simulation gefundenes a £ a^V). War das beobachtete a bei den Kombinationstesten größer als 1,5·a^V , dann wurden die Resultate dieser Kombination vom Programm nicht ausgegeben, um einer Flut an Daten entgegen zu wirken. Im Nachhinein hat sich diese willkürlich gewählte Zahl 1.5 als ungeschickt herausgestellt, so dass bei den Kombinationstesten Lücken (----) in den Tabellen auftreten. Wegen der Kürze der Zeit konnte der Autor die Simulationsrechnungen nicht wiederholen.

Tab.1: Zellenzahl 8£ZZ£12, mittlere Belegung mBl=5

Tab.2: Zellenzahl 8£ZZ£12, mittlere Belegung mBl=15

Tab.3: Zellenzahl 8£ZZ£12, mittlere Belegung mBl=50

Tab.4: Zellenzahl 25£ZZ£35, mittlere Belegung mBl=5

Tab.5: Zellenzahl 25£ZZ£35, mittlere Belegung mBl=15

Tab.6: Zellenzahl 25£ZZ£35, mittlere Belegung mBl=50

Tab.7: Zellenzahl 80£ZZ£100, mittlere Belegung mBl=5

Tab.8: Zellenzahl 80£ZZ£100, mittlere Belegung mBl=15

Tab.9: Zellenzahl 80£ZZ£100, mittlere Belegung mBl=50

Für die Genauigkeit der Schätzungen von a und b soll Tab.10 einen Hinweis geben. Es wurde 4 mal mit denselben Parametern, aber unterschiedlichen Startzahlen für den Zufallsgenerator simuliert (unterschiedliche Anzahl von Dummy-Aufrufen der Funktion RANDOM). Wie man sieht, beschränken sich die Abweichungen in den Resultaten auf die letzte Stelle.

Tab.10: Zellenzahl25£ZZ£35, mittlere Belegung mBl=15

Was dem Betrachter sofort auffällt, ist das erschreckend große b, besonders bei Tafeln mit schwacher Besetzung (mBl=5). Es scheint fast unmöglich zu sein, einen Typen zu identifizieren, wenn er nur das Typgewicht TG=1 hat. Mit 75% Wahscheinlichkeit wird er nicht identifiziert. Dabei ist ein Typgewicht TG=1 schon eine recht ansehnliche Aufstockung einer Zellwahrscheinlichkeit. Werden dort sonst 5 Probanden erwartet unter der Unabhängigkeitshypothese, sind es jetzt 10. Wodurch ist nun dieses katastrophale, ja geradezu niederschmetternde Resultat begründet? Sind es unzureichende Tests, falsche Testprozeduren oder gar die Simulation? Eine kurze Analyse soll die Ursachen aufdecken.

Die Hauptfehlerquellen , d.h. Ursachen für große a und b, sind:

• Der "Ziehungsfehler" einer Zelle e_ijk ^0.5 , der besonders bei kleinen Zellbelegungen ins Gewicht fällt. Ist der Erwartungswert einer Typzelle bei gegebener Probandenzahl z.B. e=9, dann ist der mittlere Ziehungsfehler s=3, d.h. es können mit 95% Wahrscheinlichkeit Werte zwischen e-2s und e+2s gezogen werden. Das bedeutet, dass beobachtete Frequenzen n_ijk von 3-15 möglich sind. Eine Frequenz von n_ijk =3 liegt aber bereits weit unter der mittleren Belegung von z.B. mBl=5. Eine solche Zelle hätte bereits die Chance, als Antityp identifiziert zu werden. Solche Zahlenspiele sind nicht eine Erfindung der Mathematiker, sondern bittere Realität für den Praktiker. Die einzige Möglichkeit, diesen Fehler zu verringern, ist die Erhöhung der Probandenzahl.

• Der Ziehungsfehler (N p_i.. ) ^0.5 einer Zeilensumme z.B., der besonders bei kleinen Tafeldimensionen und schwacher Besetzung ins Gewicht fällt. Da aus den Randsummen die a-priori-Zellwahrscheinlichkeiten geschätzt werden, sind Ziehungsfehler in den Randsummen natürlich auch Fehler in den geschätzten Zellwahrscheinlichkeiten. Auch hier hat der Praktiker außer der Erhöhung der Probandenzahl keinerlei Möglichkeit, diesen Fehler zu reduzieren.

Als Ursache besonders für ein überhöhtes a seien noch Phantomtypen in der Nachbarschaft einer Typzelle genannt. Diese entstehen dadurch, dass eine Typzelle mit einer hohen Zellfrequenz n_ijk die entsprechenden Randsummen erhöht. Diese haben dann nicht mehr die Werte, die sie unter der Unabhängigkeitshypothese haben müssten, und erzeugen an allen Kreuzungsstelle (außer der Typzelle selbst) die Phantome, d.h. falsche Typen. Die Victor-KFA vermeidet diesen Fehler, wenn nur eine Typzelle vorhanden ist. Bei mehreren Typzellen in der Tafel kann der Fehler nur vermieden werden, wenn man simultan alle Typzellen kennt. Leider hat der Autor keinen befriedigenden Algorithmus für das sichere simultane Auffinden aller Typzellen. Das Problem ist auch logisch inkonsistent, denn um die Lösung zu finden, müsste man sie schon haben.

Betrachtet man die Ergebnistabellen unter weiteren Gesichtspunkten, dann fällt auf:

• Ein großes Typgewicht TG erhöht a und erniedrigt b. Die Erniedrigung von b erklärt sich leicht durch die einfachere Identifikation eines Typs bei einer hohen beobachteten Zellfrequenz. Beim a bewirken verstärkt auftretende Phantomtypen die Erhöhung.

• Höhere mittlere Zellbelegung erniedrigt a und b. Die relativen Ziehungsfehler werden kleiner und damit die Ergebnisse genauer.

• Die Verbesserung der Kombinationsteste für a und b gegenüber den Basistesten ist vorhanden, aber geringfügig. 1-2 Prozentpunkte Verbesserung sind für eine Auswertung per Taschenrechner zu wenig, bei Verwendung eines PC jedoch akzeptabel.

• Kleines a bedeutet oft großes b und umgekehrt . Eine geringe Anzahl signifikanter Hypothesen (kleines a) bedeutet auch weniger Treffer bei den Typzellen (großes b), mehr signifikante Hypothesen (großes a) bedeuten auch mehr Treffer bei den Typzellen (kleines b).

• Der Einfluss des vorgegebenen a^V ist kompliziert. Ein zu kleines a^V schränkt die Hypothesenzahl sehr ein. Es gibt wenig fälschliche Ablehnungen der Nullhypothese (kleines a), aber auch wenig Treffer (großes b). Ein größeres a^V läßt das a steigen und senkt das b, wobei diese Änderungen jedoch stark nichtlinear verlaufen. Die optimale a-b-Kombination läßt sich schwer vorhersagen.

Die Empfehlungen, welche Tests mit welcher Testprozedur bei welchen Tafelgrößen und Tafelbesetzungen zu nehmen sind, sind in Tabelle 11 zusammengefasst. Ein Test ohne Stern bedeutet Holms Prozedur, ein Stern (*) zweistufige Prozedur. Kombinationsteste erkennt man am Oderzeichen (Ú).

Tab.11: Empfohlene Tests und Testprozedur

Die Tabelle 11 zeigt:

• Es gibt nicht den Test mit der Testprozedur

• Der Test Kr ist in Zeile 2 und 3 der Tabelle zu finden, d.h. der Test ist günstig bei höheren Zellbelegungen mBl zu verwenden.

• Der Test LK ist im oberen linken Dreieck der Tabelle 11 zu finden, d.h. der Test ist günstig bei kleiner Gesamtprobandenzahl N zu verwenden.

• Der Test Vi ist im oberen rechten Dreieck der Tabelle 11 zu finden, d.h. der Test ist günstig für kleine Tafeln mit niedriger Zellbelegung mBl oder aber größere Tafeln mit vielen Zellen. Bei kleinen Tafeln mit hoher Zellbelegung mBl scheint der Test Vi nicht der günstigste Test zu sein.

• Die Teste Li und Pe lassen sich nicht auf einen Platz in der Tabelle 11 fixieren.

Zukünftige Softwareentwicklungen sollten den Anwender durch Simulationsrechnungen bei der Auswahl eines Tests, einer Testprozedur und eines Vorhalte-Alphas unterstützen. Unter Vorhalte-Alpha versteht der Autor ein a^V , das vom Ziel-Alpha, z.B. a=5% abweicht, dieses aber (laut Simulation) einhält. Zudem bekäme der Anwender Hinweise auf das bestenfalls erreichbare b bei Vorgabe eines bestimmten Typgewichts TG oder bei Vorgabe des b auf das bestenfalls noch nachweisbare Typgewicht. Das wäre ein Schritt in Richtung Versuchsplanung, zumindest jedoch in Richtung mehr Transparenz.

[1] Lehmacher (1981): A more powerful simultaneous test procedure in configural frequencies analysis, Biometrical Journal, Jg. 23

[2] Herrendörfer u.a. (1982): Robustheit von Tests für 2x2-Kontingenztafeln, Probleme der angewandten Statistik, Heft 7, Forschungszentrum für Tierproduktion Dummerstorf-Rostock

[3] Diaconis und Efron (1983): Statistik per Computer: Der Münchhausen-Trick. Spektrum der Wissenschaft, Heft 7

[4] Lindner (1984): Eine exakte Auswertungsmethode zur Konfigurationsfrequenzanalyse. Psychologische Beiträge, Bd. 26

[5] Perli (1985): Testverfahren in der Konfigurationsfrequenzanalyse. Erlangen

[6] v.Eye und Rovine (1988) A comparision of significance tests for configural frequencies analysis, EDV in der Medizin, 19, (1) 6-13

[7] Kareev (1992): Generation of random sequences. J.of Experimental Psychology. Human Perception and Performance, 18, 1189-1194

[8] Krauth (1993): Einführung in die Konfigurationsfrequenzanalyse, Beltz-Verlag, Weinheim

[9] Lautsch und v.Weber (1995): Methoden und Anwendungen der Konfigurationsfrequenzanalyse, Beltz-Verlag, Weinheim